Dijkstra's Algorithm分析以及其优化

Dijkstra's  Algorithm

传统的Dijkstra:

适用于单源无负权边最短路问题。

算法步骤：
a.初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v的距离为0。

U包含除v外的其他顶点，即:U={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则<u,v>正常有权值，

若u不是v的出边邻接点，则<u,v>权值为∞。
b.从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。
c.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；

若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，

则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。
d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。

//核心代码：void  Dijkstra(int  s,int t)//s为起点{//t为终点    int temp, k;    ans=-1;    for (int i=0; i<n; i++)//对起点邻点操作    {        dis[i]=map[s][i];        vis[i]=0;    }    dis[s]=0;    vis[s]=1;//说明s点已被标记for (int i=0; i<n; i++)    {        temp = inf;//inf为超大的数        for (int j=0; j<n; j++)        {if(vis[j]==0 && temp > dis[j])            {//j没有被标记且是已知点最小的                k=j;                temp=dis[j];            }        }        if(temp == inf) //说明全被标记            break;        vis[k]=1;        for (int j=0; j<n; j++)        {//看通过k点是否会取得更小值            if(dis[j] > dis[k] + map[k][j])                dis[j]=dis[k]+map[k][j];        }    }    if(dis[t]!=inf)        ans = dis[t];}

传统dijkstra的不足之处：

(1)用邻接矩阵arcs来存储网络图，其存储量为
NxN。对于大型稀疏矩阵，这将耗费大量资源存储那些
无意义的矩阵元素。
(2)当从未标记节点集合T选定下一个节点vj作
中间节点后，在更新操作过程中，需要扫描所有的未标
记节点并进行比较更新。而未标记节点集合T中往往
包含大量与中间节点V；不直接相连的节点。
(3)在选择下一个最短路径节点作为中间节点时，
需要比较所有的未标记节点。而这个中间节点往往包含
在与已标记节点S集合的所有节点邻接的节点中。
(4)在算法的每次迭代中，由于未标记节点以无序
的形式存放在一个链表中或一个数组中．每次选择最短
路径节点都必须将所有未标记节点扫描一遍，当节点数
目很大时，这无疑将成为制约计算速度的关键冈素。

基于优先队列的优化

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<cstdlib>#include<cmath>#include<algorithm>#include<stack>#include<queue>#include<vector>using namespace std;#define INF  0x3f3f3f3f   //定义一个很大的数  struct Node{    int num,val;   //存放结点编号和到初始点的距离} nod;priority_queue<Node> qq;;   //优先从小到大bool operator < (Node a,Node b){    if(a.val == b.val) return a.num>b.num;    return a.val>b.val;              //先出小}int book[100];  //检查这个点是否用过int dis[100];     //到原点最短距离int D[100][100];  //记录路径长度int V,E;int main(){    int a,b,d;    while(cin>>V>>E && V&& E)  //输入顶点数和边数    {        while(!qq.empty()) qq.pop(); //清空        memset(book,0,sizeof(book));        memset(D,-1,sizeof(D));        for(int i=0; i<E; i++)        {            cin>>a>>b>>d;            D[a][b] = D[b][a] = d;        }        for(int i=2; i<=V; i++)            dis[i]=INF;        dis[1]=0;        nod.num=1;        nod.val=0;        qq.push(nod);   //将起点放入队列        while(!qq.empty())  //不为空时        {            for(int i=2; i<=V; i++)            {                if(D[qq.top().num][i] != -1  &&dis[i]>dis[qq.top().num] + D[qq.top().num][i])                {                    dis[i]=dis[qq.top().num] + D[qq.top().num][i];                    nod.num=i;                    nod.val=dis[i];                    qq.push(nod);                }            }            qq.pop();        }        for(int i=1; i<=V; i++)        {            cout<<"初始点到"<<i<<"点的距离为："<<dis[i]<<endl;        }    }    return 0;}

完全优化后空间复杂度可以从O(N*N)到O(4*N+E),时间复杂度可以从O(N*N)到O(n*(logN+E)，具体复杂度分析不在此解析，详情可见参考论文。

在此只是在时间复杂度上有一定的优化，空间复杂度的优化可以用邻接表进行对边的存储。堆优化以及空间优化将在后续更新。

本文参考：王战红1 孙明明2姚 瑶3《Dijkstra算法的分析与改进》的论文。