线性代数 逆矩阵

矩阵的反转是什么？

这是倒数一的号码：

数字的互惠

矩阵的反向是一样的想法，但我们写 A ^-1

为什么不是 1 / A？因为我们不分矩阵！反正 1 / 8也可以写成 8 ^-1

还有其他的相似之处：

当我们将一个数乘以它的倒数我们得到1

8×（1 / 8）= 1

当我们乘以一个矩阵乘以它的逆时，我们得到的身份矩阵（这就像“1”为矩阵）：

A×A ^-1 = I

相反的事情，当逆到来时：

（1 / 8）×8 = 1

A ^-1 ×A = I

身份矩阵

我们刚刚提到了“身份矩阵”。它是相当于数字“1”的矩阵：

3x3身份矩阵

• 它是“正方形”（与列相同的行数），
• 对角线有1秒，其他地方有0秒。
• 它的标志是大写字母我。

身份矩阵的大小可以是2×2，或者3×3，4×4等。

定义

这里是定义：

的逆一个是 一个^-1只有当：

A×A ^-1 = A ^-1 ×A = I

有时候根本没有反向。

2x2矩阵

好的，我们如何计算逆向？

那么，对于一个2x2矩阵，反向是：

换句话说：交换 a和d的位置，把底片在b和c前面，并且划分由一切行列式（广告-BC）。

让我们试试一个例子：

我们怎么知道这是正确的答案？

记住一定是：A×A ^-1 = I

所以，让我们检查一下，当我们将矩阵乘以逆时，会发生什么：

而且，嘿！我们最终得到了身份矩阵！所以一定是对的。

它应该也是真实的：一个^-1 ×A = 我

你为什么不放弃这些？看看你是否也得到了身份矩阵：

 

为什么我们需要反转？

因为与矩阵我们不分！认真地说，没有一个按矩阵划分的概念。

但是我们可以乘以一个反向，这实现了同样的事情。

想像一下我们不能用数字划分

...有人问“如何与2人分享10个苹果？”

但是我们可以采取2 的互惠（即0.5），所以我们回答：

10×0.5 = 5

他们每个5个苹果。

同样的事情可以用矩阵：

说我们知道Matrix A和B，想要找到Matrix X：

XA = B

将双方分开A（得到X = B / A）是很好的，但请记住我们不能分开。

 

但是如果我们将双方乘以A ^-1呢？

XAA ^-1 = BA ^-1

我们知道AA ^-1 = I，所以：

XI = BA ^-1

我们可以删除I（同样的原因我们可以从1x = ab中删除“1”号）：

X = BA ^-1

我们有答案（假设我们可以计算A ^-1）

在这个例子中，我们非常小心得到乘法正确，因为矩阵乘法的顺序。AB几乎不等于BA。

现实生活中的例子：巴士和火车

一组乘坐公共汽车旅行，每位儿童3美元，成人3.20美元，合计118.40美元。

他们乘坐火车回到每名儿童3.50美元，每名成人3.60美元，总计135.20美元。

有几个孩子，还有几个成年人？

首先，我们设置矩阵（小心得到行和列正确！）：

这就像上面的例子：

XA = B

所以要解决它，我们需要“A”的倒数：

 

现在我们可以使用以下方法来解决：

X = BA ^-1

有16个孩子和22个大人！

答案几乎看起来像魔术。但它是基于良好的数学。

像这样的计算（但使用更大的矩阵）有助于工程师设计建筑物，用于视频游戏和计算机动画，使东西看起来像三维等许多地方。

它也是解决线性方程组的一种方法。

计算由计算机完成，但人们必须了解公式。

 

订单很重要

说在这种情况下我们试图找到“X”：

AX = B

这与上面的例子不同 X现在在 A.

使用矩阵乘法的顺序通常会改变答案。不要以为AB = BA，这几乎不是真的。

 

那么我们如何解决这个问题呢？使用相同的方法，但把A ^-1放在前面：

A ^-1 AX = A ^-1 B

我们知道A ^-1 A = I，所以：

IX = A ^-1 B

我们可以删除我：

X = A ^-1 B

我们有答案（假设我们可以计算A ^-1）

为什么我们不试试我们的巴士和列车的例子，但是这样做的数据就是这样设置的。

可以这样做，但我们必须小心我们如何设置。

这就是AX = B的样子：

看起来很整洁！我想我喜欢这样。

还要注意
，与上一个示例相比，行和列如何交换（“转置”）。

为了解决这个问题，我们需要“A”的倒数：

这就像我们之前的反向，但是
转置（行和列交换）。

现在我们可以解决使用：

X = A ^-1 B

同样的答案：16名儿童和22名成年人。

所以，矩阵是强大的东西，但他们确实需要正确设置！

 

逆向可能不存在

首先，要有一个反转矩阵必须是“正方形”（相同数量的行和列）。

而且行列式也不能为零（或者我们最终除以零）。这个怎么样：

24-24？这等于0，而1/0未定义。
我们不能再去了！这个矩阵没有反向。

这样的矩阵称为“奇异”，只有当行列式为零时才会发生。

这是有道理的，看看数字：第二行只是第一行的两倍，不会添加任何新的信息。

决定因素让我们知道这个事实。

（想象一下在我们的公共汽车和火车上的例子，火车上的价格都比公车高了50％，所以现在我们无法弄清大人和小孩之间的区别，需要有一些东西把它们分开。

更大的矩阵

与较大的矩阵（例如3x3,4x4等）相比，2x2的反 比较容易。

对于那些较大的矩阵，有三种主要的方法来计算逆矩阵：

• 使用基本行操作的矩阵逆（高斯约旦）
• 使用未成年人，辅因子和倾向的矩阵的逆
• 使用电脑（如矩阵计算器）

 

结论

只有当A×A ^-1 = A ^-1 ×A = I时， A的逆A为A ^-1
为了找到一个2x2矩阵的逆：交换 A和D的位置，把底片中的B和C的前面，划分由行列式（AD-BC）的一切。
有时候根本没有反向