POJ 1190 生日蛋糕(深搜+剪枝)

生日蛋糕

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Description

7月17日是Mr.W的生日，ACM-THU为此要制作一个体积为Nπ的M层生日蛋糕，每层都是一个圆柱体。 
设从下往上数第i(1 <= i <= M)层蛋糕是半径为Ri, 高度为Hi的圆柱。当i < M时，要求Ri > Ri+1且Hi > Hi+1。 
由于要在蛋糕上抹奶油，为尽可能节约经费，我们希望蛋糕外表面（最下一层的下底面除外）的面积Q最小。 
令Q = Sπ 
请编程对给出的N和M，找出蛋糕的制作方案（适当的Ri和Hi的值），使S最小。 
（除Q外，以上所有数据皆为正整数） 

Input

有两行，第一行为N（N <= 10000），表示待制作的蛋糕的体积为Nπ；第二行为M(M <= 20)，表示蛋糕的层数为M。

Output

仅一行，是一个正整数S（若无解则S = 0）。

Sample Input

1002

Sample Output

68

Hint

圆柱公式 
体积V = πR²H 
侧面积A' = 2πRH 

底面积A = πR² 

这个上来是完全没有思路的，后来想，除了搜索也没有什么好办法了，而且很明显，是个深搜题。

看了下数据，10000，剪枝是必须的了，而且应该绝大部分数据都可以直接通过剪枝减掉。

看别人根据这个题写了很多剪枝，其实最终要的只有一个，其它的都是打辅助的。

证明：我们把蛋糕从下到上标记为1~m层，所以当我们走到第f层的时候，需要再添加的体积是n-sumv（sumv是当前已经做好的体积），n-sumv又等于h(f+1)*r(f+1)*r(f+1)+h(f+2)*r(f+2)*r(f+2)+......+h(m)*r(m)*r(m)，设当前f层半径为r,因为r比上层的r都大,所以

n-sumv = h(f+1)*r(f+1)*r(f+1)+h(f+2)*r(f+2)*r(f+2)+......+h(m)*r(m)*r(m)<h(f+1)*r(f+1)*r+h(f+2)*r(f+2)*r+......+h(m)*r(m)*r,

把两边同时除以r,得到(n-sumv)/r< h(f+1)*r(f+1)+h(f+2)*r(f+2)+......+h(m)*r(m),两边同乘2，得到2*(n-sumv)/r< s-sums(s是总的表面积，sums是当前已经做好的表面积),假如我们之前找到了一个最优解ans,所以如果当前2*(n-sumv)/r >= ans-sums,肯定是可以剪掉的。

其他的小优化看一下代码就行了，这里为了好理解我已经把优化降至最少了。

#include<cstdio>#include<cstring>#include<iostream>#include<algorithm>#include<queue>#include<stack>#include<vector>#include<map>#include<cmath>using namespace std;typedef long long ll;const int maxn = 2e5+5;int n,m;int ans = 99999;//把最优解设成一个大数//sums 当前累计表面积 sumv 当前累计体积 r,h为下面一层的半径和高度,f为层数void dfs(int sums,int sumv,int r,int h,int f){if(f == m){if(sumv == n)if(sums< ans)ans = sums;return ;}if(sumv> n||sums> ans)//此处剪枝不可省return ; if(2*(n-sumv)/r> ans-sums)//证明见上面return ; for(int i = r-1;i>= m-f;i--){if(f == 0)sums = i*i; //蛋糕整体上表面面积for(int j = h-1;j>= m-f;j--){dfs(sums+2*i*j,sumv+i*i*j,i,j,f+1);}}}int main(){scanf("%d %d",&n,&m);dfs(0,0,sqrt(n),n,0);if(ans!= 99999)printf("%d\n",ans);elseprintf("0\n");return 0;}

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