hdu--6038--Function

Function

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Problem Description

You are given a permutation a from 0 to n−1 and a permutation b from 0 to m−1.

Define that the domain of function f is the set of integers from 0 to n−1, and the range of it is the set of integers from 0 to m−1.

Please calculate the quantity of different functions f satisfying that f(i)=bf(ai) for each i from 0 to n−1.

Two functions are different if and only if there exists at least one integer from 0 to n−1 mapped into different integers in these two functions.

The answer may be too large, so please output it in modulo 109+7.

 

Input

The input contains multiple test cases.

For each case:

The first line contains two numbers n, m. (1≤n≤100000,1≤m≤100000)

The second line contains n numbers, ranged from 0 to n−1, the i-th number of which represents ai−1.

The third line contains m numbers, ranged from 0 to m−1, the i-th number of which represents bi−1.

It is guaranteed that ∑n≤106, ∑m≤106.

 

Output

For each test case, output "Case #x: y" in one line (without quotes), where x indicates the case number starting from 1 and y denotes the answer of corresponding case.

 

Sample Input

3 21 0 20 13 42 0 10 2 3 1

 

Sample Output

Case #1: 4Case #2: 4

 

Source

2017 Multi-University Training Contest - Team 1

官方题解：

考虑置换 $a$ 的一个循环节，长度为 $l$ ，那么有 $f(i) = b_{f(a_i)} = b_{b_{f(a_{a_i})}} = \underbrace{b_{\cdots b_{f(i)}}}_{l\text{ times }b}$ 。

那么 $f(i)$ 的值在置换 $b$ 中所在的循环节的长度必须为 $l$ 的因数。

而如果 $f(i)$ 的值确定下来了，这个循环节的另外 $l-1$ 个数的函数值也都确定下来了。

答案就是 \sum_{i = 1}^{k} \sum_{j | l_i} {j \cdot cal_j}∑​i=1​k​​∑​j∣l​i​​​​j⋅cal​j​​ 改为 \prod_{i = 1}^{k} \sum_{j | l_i} {j \cdot cal_j}∏​i=1​k​​∑​j∣l​i​​​​j⋅cal​j​​ ，其中 $k$ 是置换 $a$ 中循环节的个数， l_il​i​​ 表示置换 $a$ 中第 $i$ 个循环节的长度， cal_jcal​j​​ 表示置换 $b$ 中长度为 $j$ 的循环节的个数。

时间复杂度是 $\mathcal{O}(n+m)$ 。

我的思路：

这题主要的是去找循环节，

分析样例：3 4

2 0 1

0 2 3 1

可以推出：a序列有个长度为3的循环节，即a[0]=2,a[1]=0,a[2]=1。

       b序列有长度为1和3的循环节  长度为1的：b[0]=0;长度为3的：b[1]=2,b[2]=3,b[3]=1;

求解：

1，要满足f（i）=b[f(a[i])];枚举数列a中的循环x，然后同理再找出b中循环y，但需要满足y的长度是x的因子

2，由于循环可以旋转，则每一个长度为len(y)的循环y贡献的方法个数为tol（y）=num(y)*len(y)  （分别表

     示y循环的长度和个数），将该x的每一个tol(y)进行累加，tol(x)=tol(y1)+tol(y2)+....+tol(yn);yi都是

     x的因子。

3，由于不同x之间相互独立，ans=tol(x1)*tol(x2)*.....*tol(xn);

代码：

 C++ Code 

1
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#include<bits/stdc++.h>
using namespace  std;
typedef long long ll;
const int N=1e5+10;
const ll mod=1e9+7;
int a[N],b[N];
int aa[N],bb[N];
int vis[N];
int main()
{
    int k=1;
    int n,m;
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
    {
        for(int i=0; i<n; i++)
            scanf("%d",&a[i]);
        for(int i=0; i<m; i++)
            scanf("%d",&b[i]);
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        memset(aa,0,sizeof(aa));
        memset(bb,0,sizeof(bb));
        for(int i=0; i<n; i++)
        {
            int cnt=0;
            int x=i;
            while(!vis[x])
            {
                cnt++;
                vis[x]=1;
                x=a[x];
            }
            aa[cnt]++;///a该循环节的个数++
        }
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        for(int i=0; i<m; i++)
        {
            int cnt=0;
            int x=i;
            while(!vis[x])
            {
                cnt++;
                vis[x]=1;
                x=b[x];
            }
            bb[cnt]++;///b该循环节的个数++
        }
        ll sum=1;
        for(int i=1; i<=n; i++)
        {
            if(aa[i])
            {
                ll ans=0;
                for(int j=1; j<=i; j++) ///在b的循环节中找到和a匹配的，即a的因子
                    if(i%j==0)
                        ans=(ans+bb[j]*j)%mod;///循环节的个数*循环节的长度，代表循环节里的这些数都可以形成f
                while(aa[i]--) ///对于a每个循环节都有ans个，所以*
                    sum=sum*(ans)%mod;
            }
        }
        printf("Case #%d: ",k++);
        printf("%I64d\n",sum);
    }
    return 0;
}