逆序对总结 【各种求法】

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逆序对：设 A 为一个有 n 个数字的有序集 (n>1)，其中所有数字各不相同。如果存在正整数 i, j 使得 1 ≤ i < j ≤ n 而且 A[i] > A[j]，则 A[i], A[j]> 这个有序对称为 A 的一个逆序对，也称作逆序数。

Example ：求给出一个由n个数组成的序列，求出该序列 的逆序对总数目
暴力解法这里就不提了。

思路 归并排序：（即使序列存在相同元素，该算法也适用，且代码不用修改）
归并排序是将数列a[l,h]分成两半a[l,mid]和a[mid+1,h]分别进行归并排序，然后再将这两半合并起来。在合并的过程中（设l<=i<=mid ,mid+1<=j<=h),
当a[i]<=a[j]时，并不产生逆序数；当a[i]>a[j]时，在前半部分中比a[i]大的数都比a[j]大，将a[j]放在a[i]前面的话，逆序数要加上mid+1-i。因此，可以在归并
排序中的合并过程中计算逆序数.

代码 实现一 归并排序

#include<bits/stdc++.h>#define LL long longusing namespace std;const int MAXN = 50000+5;const int MAXM = 1e5;int a[MAXN],temp[MAXN];LL ans=0;int n;void merge(int le,int mid,int ri){//使每两部分【都已经分别有序】，合并为一个有序集合     int i,j,k;    // le到mid 是一个有序部分，mid+1到ri是一个有序部分 ，合并就行了      i=le;j=mid+1;k=le;    for(;i<=mid&&j<=ri;){        if(a[i]>a[j]){            temp[k++]=a[j++];            ans+=mid-i+1;        }else  temp[k++]=a[i++];    }    while(i<=mid) temp[k++]=a[i++];    while(j<=ri) temp[k++]=a[j++];    for(i=le;i<=ri;i++) a[i]=temp[i];}void merge_sort(int le,int ri){//不断的分为一半，来使各个部分非递减有序     if(le<ri){        int  mid=(le+ri)>>1;        merge_sort(le,mid);        merge_sort(mid+1,ri);        merge(le,mid,ri);    }}int main(){    while(~scanf("%d",&n)){        for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",&a[i]);        ans=0;        merge_sort(0,n-1);        printf("%lld\n",ans);    }    return 0;}

思路 二叉树：（我们先说序列不存在相同元素的情况，存在相同元素的情况后面补充）
1,初始化所有节点对应区间为0；
2,优先插入最大值，我们假设当前插入位置为pos，更新pos对应的区间为1。在每次插入后统计在pos位置之前有多少个数，说白了就是求 1到pos-1 区间 的数值总和；
3,累加每次插入的统计值，即是所求的当前序列的逆序对总数目。

struct record{    int val;//记录数值      int pos;//记录该数值在序列的位置 }num[];bool cmp(record a,record b)//优先数值大的 {    return a.val > b.val;}

代码实现二–>线段树：
我们可以从大到小排序原序列，然后依次插入线段树的相应位置，每插入一次，判断一下它前面有几个数，这时候逆序数就加相应个数。
【线段树可以理解将每一个点作为值1，在判断一个数前面有几个数的时候，我们求一下从节点1到当前节点前一个，的总和就代表前面有几个数。】

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;#define LL long long#define ll o<<1#define rr o<<1|1#define lson o<<1,le,mid#define rson o<<1|1,mid+1,riconst int MAXN =50000+10;const int MAXM = 1e6;const LL mod = 9973;struct Tree{    int l,r;    int sum;}tree[MAXN<<2];int n;struct Node{    int id,val;}node[MAXN];bool cmp(Node a,Node b){    return a.val>b.val;}void pushup(int o){    tree[o].sum=tree[ll].sum+tree[rr].sum;}void build(int o,int le,int ri){    tree[o]={le,ri,0};    if(le==ri)  return ;    int mid=(le+ri)>>1;    build(lson);    build(rson);    pushup(o);}void update(int o,int pos,int val){    if(tree[o].l==tree[o].r&&tree[o].l==pos){        tree[o].sum+=val;        return ;    }    int mid=(tree[o].l+tree[o].r)>>1;    if(pos>mid) update(rr,pos,val);    else if(pos<=mid) update(ll,pos,val);    pushup(o);}int query(int o,int le,int ri){    if(tree[o].l>=le&&tree[o].r<=ri) return tree[o].sum;    int mid=(tree[o].l+tree[o].r)>>1;    if(le>mid) query(rr,le,ri);    else if(ri<=mid) query(ll,le,ri);    else return  query(ll,le,mid)+query(rr,mid+1,ri);}int main(){     int n,i;     LL ans;    while(scanf("%d",&n)!=EOF){        build(1,1,n);        for(int i=0;i<n;i++){            scanf("%d",&node[i].val);            node[i].id=i+1;        }        sort(node,node+n,cmp);        ans=0;        for(int i=0;i<n;i++){            update(1,node[i].id,1);            if(node[i].id==1)  continue;            ans+=query(1,1,node[i].id-1);        }        printf("%lld\n",ans);    }    return 0;}

代码实现三 –>树状数组：

#include <cstdio>#include <cstring>#include <algorithm>#define MAX 500000#define LL long long using namespace std;int c[MAX];int n;struct record{    int val, pos;//记录数值 和 位置 }num[MAX];bool cmp(record a,record b){    return a.val > b.val;}int lowbit(int x){    return x&(-x);}int sum(int x)//求和 {    int s = 0;    while(x > 0)    {        s += c[x];        x -= lowbit(x);    }    return s;}void update(int x)//更新 {    while(x <= n)    {        c[x] += 1;        x += lowbit(x);     }}int main(){    int i, j;    LL ans;//统计总数目     while(scanf("%d", &n), n)    {        memset(c, 0, sizeof(c));//初始化         for(i = 0;i < n; i++)        {            scanf("%d", &num[i].val);            num[i].pos = i + 1;        }        sort(num, num+n, cmp);        ans = 0;        for(i = 0;i < n; ++i)//每一次插入当前最大值         {            update(num[i].pos);            ans += sum(num[i].pos-1);//统计前面有多少个数         }        printf("%lld\n", ans);    }    return 0;}

补充存在相同元素情况：
上面代码实现的是序列不存在相同元素的情况，若是存在相同元素，只需限制一下插入顺序就ok了。
修改代码如下（其余代码不用修改）：

struct record{    int val;    int pos;}num[];bool cmp(record a, record b){    if(a.val != b.val)    return a.val > b.val;    else    return a.pos > b.pos;}