【宏观】超长期中的经济增长：Solow 模型初步

封闭中的一般均衡模型，描述了在某一时点上经济如何生产、如何使用其产出，在该时点，生产的量是固定的。
在这里，将要讨论经济为什么会增长，为什么有的国家增长得更快一些。
主要是考虑，在超长期中，生产函数中的一些量是否发生了变化。

参考资料：曼昆《宏观经济学》。

资本存量的变化

Solow 模型中，生产函数决定了产品的供给，即 Y=F(K,L)，并且假设生产函数具有不变规模报酬，即对于任意正数 z，有 zY=F(zK,zL).
在这样的假设下，如果令 z=1/L，那生产函数就变成了 YL=F(KL,1)，即人均产出是人均资本存量的函数，如果把人均量用小写字母表示，就变成 y=f(k).
现在假设人们把收入用于储蓄的比例为 s，那么，并且忽略政府购买和对外贸易，那么人均消费的函数就是 c=(1−s)y，人均投资的函数为 i=sy=sf(k).
资本存量会因为投资而增加，会因为折旧而减少，设折旧率为 δ，那么每年折旧的人均资本量为 δk.
如果作出了以上这些假设，那么，资本存量一定会有某个稳定点，当大于该点时，折旧大于投资，资本存量会自动下降，当小于该点时，折旧小于投资，资本存量会自动增加。下图表示了这一现象：

当储蓄率提高时，投资曲线会更高一些，那么与折旧曲线的交点会更向右上方一些，也即稳定状态的人均资本存量会更多一些，人均产出也更大一些。这样说来，难道储蓄率越大越好？

资本黄金律水平

储蓄率越大，稳定状态下的人均资本存量确实越大，人均收入也确实越高，但是，人们的收入高了却不消费，从福利的角度来讲，这样做并不好。
每个人个体可能并不关心人均资本存量，也不关心总产出，只关心自己究竟能消费多少东西。因此，可以把最大化人均消费作为制定政策的目标。储蓄率太高导致用于消费的钱太少，储蓄率太低导致收入太少，总有一个最佳的储蓄率，让消费最大，在该储蓄率下，资本存量达到的稳定状态称为资本黄金律水平（Golden Rule level of capital） k∗gold.
假设政策制定者可以人为地选择一个储蓄率。c=y−i，稳定状态下，收入（产出）由生产函数决定，投资等于折旧，因此，有 c∗=f(k∗)−δk∗，如果对 k∗ 求导，可以得出，资本黄金律水平等于资本的边际产量：

政策制定

储蓄率过大

如果当前的储蓄率过大，使得当前稳定的人均资本存量大于资本黄金律水平时，可以制定一些鼓励消费、降低储蓄的政策，在政策生效的那一刻，消费会突然跳高，然后再缓慢下降直到新的稳定状态，且新的稳定状态比旧的稳定状态下，消费更多。

储蓄率过低

绝大部分国家都处于这样的状态，按理说，应该制定鼓励储蓄的政策，但如果这样的政策一生效，在当下消费会跳低，之后才会重新达到新的稳定状态，新的稳定状态下消费比旧的稳定状态更多：

但是，在经过一段时期之后，更高消费的福利的享受者很可能已经不是同一代人，当下这代人的消费会减少，因此这样的政策实施会有难度。

人口增长

资本积累本身解释了不同的资本存量的稳定状态，改变储蓄率，可以使产出暂时增长，但增长到新的资本存量的稳定状态后，又会稳定下来。因此，资本存量的变化不能解释持续的增长。
在上面的分析中，我们假设了人口是不变的，但如果人口以 n 的速度增长呢？
人均资本存量的变动就变成了 Δk=i−(δ+n)k，在稳定状态也是 i 曲线和 (δ+n)k 曲线相交，也就是原来的折旧曲线斜率变得更大了。

人口增长率的增加，会降低稳定状态的人均资本存量，降低稳定状态下的人均产出，但是，由于人口的不断增加，总产出会不断增加。
关于人口增长，还有一些其他观点和模型：

• 马尔萨斯模型，认为人口增长会使自然资源紧张。但事实证明，人类的创造性的增长足以抵消人口增长的效应
• 克莱默模型，认为世界人口增长是促进经济繁荣的关键驱动力。如果有更多的人口，就会有更多的科学家、投资者、工程师对创新和技术进步作出贡献。大量人口是技术进步的先决条件。

技术进步

Solow 模型没有解释技术进步，而把它看作是外生给定的。
如果要纳入技术进步，可以引入一个新的劳动效率（efficience of labor）变量 E，引入之后，生产函数的表达式为 Y=F(K,L×E)，L×E 可以解释为工人的有效数量。
假设劳动效率以不变的速度 g 稳定增长，g 被称为劳动改善型技术进步（labor-augmenting technological progress），在这样的假设下，工人的有效数量以速率 (n+g) 增长。此时，k 的变动为 Δk=i−(δ+n+g)k，画到图上：

在稳定状态下，有效工人的人均产出 y=Y/(L×E)=f(k) 不变，人均产出 Y/L=y×E 以速率 g 增长，而总产出 Y 以速率 (n+g) 增长。