纯交换
假设条件
假设，经济中有 N 个消费者，没有厂商，经济是完全竞争的、信息是完全的、不存在不确定性。
消费者偏好如下：
v(c1,c2)=u(c1)+βu(c2)
其中 β 是贴现因子，定义 ρ 为贴现率，则 β=11+ρ. 效用函数 v(⋅) 为严格凹函数，u(⋅) 一般称为 period utility function，一般假设为严格凹、二次可微，也满足稻田条件 (Inada conditions)：u′(c)>0,u′′(c)<0;limc→0u′(c)=∞,limc→∞u′(c)=0.
再用 y1i 和 y2i 来表示第 i 个消费者在第一期开始和第二期开始时可以获得的收入。这笔收入不会所有人都一样，否则就不会有资本市场了。令
∑i=1Ny1i=Y1∑i=1Ny2i=Y2y1i+y2i=y1j+y2j,i≠j,i∈(1,2,…,N),j∈(1,2,…,N)
再用 bt,t∈[1,2] 来表示消费者在 t 时期所拥有的债券数量，能在 t+1 时期收回本金并获得利息 tbt. 假设初始时没有债券，即 b0=0.
消费者最优化
消费者面临的最优化问题如下：
maxc1,c2,b1s.t.{u(c1)+βu(c2)}c1+b1=y1c2=y2+b1(1+r)
从一阶条件中可以得出 u′(c1)u′(c2)=β(1+r)，这是欧拉方程 (Euler equation).
具体案例
如假设 u(ct)=lnct，则可以解出：
c1=y2+y1(1+r)(1+β)(1+r)c2=[y2+y1(1+r)](β1+β)b1=y1−y2+y1(1+r)(1+β)(1+r)
市场均衡
资本市场出清：∑i=1Nb1i=0，即每个时期愿意借入和愿意借出的钱应该相等，否则找不到对手方。
商品市场出清 ：∑i=1Nc1i+∑i=1Nc2i=Y1+Y2，即两期的总消费等于两期的总收入。
具体案例
若 u(ct)=lnct，利用 b1i=y1i−y2i+y1i(1+r)(1+β)(1+r)，利用资本市场出清，将该式对所有消费者累加之后，得出：
r⋆=Y2βY1−1
定义 Y2Y1=1+g，则 g 可以看成经济增长率，那么有 r⋆=1+gβ−1=(1+ρ)(1+g)−1≈ρ+g.
考虑资本
假设条件
假设经济由一个代表性消费者和一个代表性厂商组成，消费者决定最优的消费数量和储蓄数量（资本供给），厂商决定最合适的资本使用数量。他们都是竞争性的，即视市场价格为给定。消费者拥有厂商。
消费者偏好是 v(c1,c2)=u(c1)+βu(c2).
厂商的生产函数如下：
y=zf(k)
k 是资本投入，z 是全要素生产率参数，假设 f′(k)>0,f′′<0，同时也满足稻田条件：limk→0f′(k)=∞,limk→∞f′(k)=0.
消费者在第一期开始拥有禀赋 k0，并且规定在第一期时不能用于自己消费。所以，第一期的资本供给 ks1=k0.
在设消费者第一、二期的储蓄为 s1,s2，s1 也代表了消费者在第二期的资本供给 ks2，厂商在第一、二期的利润为 π1,π2，并且厂商被消费者所拥有。
消费者最优化
消费者面临的最优化问题如下：
maxc1,c2,s1s.t.{u(c1)+βu(c2)}c1+s1=(1+r1)ks1+π1c2=(1+r2)s1+π2
从一阶条件中可以得出 u′(c1)u′(c2)=β(1+r2)，这是欧拉方程 (Euler equation).
厂商最优化
厂商利润为：
π1=zf(kd1)−(1+r1)kd1+(1−δ)kd1π2=zf(kd2)−(1+r2)kd2+(1−δ)kd2
其中，δ 是资本的折旧率，假设 δ=1，即资本在使用后会完全报废。
厂商要选择的是 kd1 和 kd2，，一阶条件为：
zf′(kd1)=1+r1zf′(kd2)=1+r2
市场均衡
第一期资本市场出清：k0=ks1=kd1.
第二期资本市场出清：ks2=kd2.
商品市场出清：c1+c2=k0+[zf(kd1)−kd1]+[zf(kd2)−kd2]，第一项为初始资本存量，后两项分别为第一期和第二期的净产出（生产出的减去报废的）。
根据瓦尔拉斯法则，n−1 个市场出清了，剩下的那个也会出清，所以解的时候可以忽略第三个商品市场出清。
具体案例
若 u(ct)=lnct，y=zf(k)=zkα，可以解出均衡解：
r⋆1r⋆2c⋆1c⋆2k⋆1k⋆2π⋆1π⋆2=αzkα−10−1=zα[αβzkα01+αβ]α−1−1=zkα01+αβ=z[αβzkα01+αβ]α=k0=αβzkα01+αβ=z(1−α)kα0=z(1−α)[αβzkα01+αβ]α
计划最优
计划最优问题，即在资源约束下最大化消费者效用：
maxc1,c2,k2s.t.{u(c1)+βu(c2)}c1=zf(k0)−k2c2=zf(k2)
将 c1 与 c2 代入后求解最大化问题，答案与求解市场均衡问题一致。
考虑资本和劳动
假设条件
假设经济由一个代表性消费者和一个代表性厂商组成，消费者决定最优的消费数量、储蓄数量（资本供给）和劳动供给数量，厂商决定最合适的资本使用数量和劳动使用数量。他们都是竞争性的，即视市场价格为给定。消费者拥有厂商。
消费者偏好是 v(c1,c2,l1,l2)=u(c1,l1)+βu(c2,l2)=u(c1)+u(l1)+βu(c2)+βu(l2).
厂商的生产函数如下：
y=zf(k,n)
k 是资本投入，n 是劳动投入，z 是全要素生产率参数，假设 生产函数严格拟凹、二次可微、一次齐次（所以零利润，与上一个模型不同）、对每一个变量都严格递增，同时也满足稻田条件：limk→0f′1(k,n)=∞,limk→∞f′1(k,n)=0,limn→0f′2(k,n)=∞,limn→∞f′2(k,n)=0.
消费者在第一期开始拥有初始资本 k0，并且规定在第一期时不能用于自己消费。所以，第一期的资本供给 ks1=k0.
同时，消费者每一期还有 h 的时间禀赋。
在设消费者第一、二期的储蓄为 s1,s2，s1 也代表了消费者在第二期的资本供给 ks2，厂商在第一、二期的利润为都为零。
消费者最优化
消费者面临的最优化问题如下：
maxc1,c2,s1s.t.{u(c1)+u(l1)+βu(c2)+βu(l2)}c1+s1=w1(h−l1)+(1+r1)k0c2=w2(w−l2)+(1+r2)s1
从一阶条件中可以得出 u′(c1)u′(c2)=β(1+r2),u′(l1)u′(c1)=w1,u′(l2)u′(c2)=w2.
厂商最优化
厂商利润为：
π1=zf(kd1,nd1)−w1nd1−(1+r1)kd1+(1−δ)kd1π2=zf(kd2,nd2)−w2nd2−(1+r2)kd2+(1−δ)kd2
其中，δ 是资本的折旧率，假设 δ=1，即资本在使用后会完全报废。
厂商要选择的是 kd1 和 kd2，，一阶条件为：
zf1(kd1,nd1)=1+r1zf2(kd1,nd1)=w1zf1(kd2,nd2)=1+r2zf2(kd2,nd2)=w2
市场均衡
第一期资本市场出清：k0=ks1=kd1.
第二期资本市场出清：s=ks2=kd2.
商品市场出清：c1+c2=k0+[zf(kd1,nd1)−kd1]+[zf(kd2,nd2)−kd2]，第一项为初始资本存量，后两项分别为第一期和第二期的净产出（生产出的减去报废的）。
第一期劳动市场出清：h−l1=ns1=nd1.
第二期劳动市场出清：h−l2=ns2=nd2.
根据瓦尔拉斯法则，n−1 个市场出清了，剩下的那个也会出清，所以解的时候可以忽略第三个商品市场出清。
计划最优
计划最优问题，即在资源约束下最大化消费者效用：
maxc1,l1,c2,l2,k2s.t.{u(c1)+u(l1)+βu(c2)+βu(l2)}c1=zf[k0,(h−l1)]−k2c2=zf[k2,(h−l2)]
由一阶条件可以得到，u′(c1)βu′(c2)=zf1[k2,(h−l2)],u′(l1)u′(c1)=zf2[k0,(h−l1)],u′(l2)u′(c2)=zf2[k2,(h−l2)].
由上面三个等式，加上两个预算约束，就可以解出要求的5个变量。
