HDU4704Sum 费马小定理+大数取模

题目链接：

　　hdu4704

题目大意：

给定一个数n 将其分解，Si 表示将n拆成i个数的方案数

求sum( si ) 1<=i<=n;

分析：

隔板原理， n个木棍，n-1个缝，

分成1份则是C(n-1,0);

分成2份则是C(n-1,1);

分成3份则是C(n-1,2);

...

分成n份则是C(n-1,n-1);

ans = sum( C(n-1,i) ) (0<=i<=n-1)

=2^(n-1);

题目分析:

　　因为n实在是太大太大了，这可咋办啊？！n<10¹⁰⁰⁰⁰⁰。

　　做这场的时候没有注意到，也是当时没有看过什么是费马小定理，居然跟模值有关系！mod=1000000007。这个mod有什么特点呢？它是个质数。

　　费马小定理揭示了：当p是一个素数并且a和p互质时，a^p-1 %p≡1。

　　那么在这道题里a=2，p=mod。显然满足费马小定理。再根据同余模定理，

　　当n>p时：设m=n-p。那么a^n-1=a^m+p-1=a^p-1*a^m。

因而a^n-1%p=a^m+p-1%p=((a^p-1%p )*(a^m%p))%p=1*a^m%p。

　　这么我们就可以断定mod-1是一个循环节。先用大数对它取模，然后数据量就可以承受得起了，再用快速幂，这道题就解了！

ps：这里解释下大数取模

数学上，两个整数除以同一个整数，若得相同余数，则二整数同余（英文：Modular arithmetic；德文：Kongruenz）。同余理论常被用于数论中。最先引用同余的概念与符号者为德国数学家高斯。——摘自 百度百科

（a + b）% n = ((a % n) + (b % n)) % n

(a - b) % n = ((a % n) - (b % n) + n) % n

a * b % n = (a % n) * (b % n) % n

下面是对大整数取模，边乘边取余。证明就用上面的定理。

用字符数组存大整数str

int ans = 0;

for(int i =0; i < str.length(); ++i)

ans = (ans * 10 + str[i] - '0') % MOD;

#include <cstdio>#include <cstring>#include <algorithm>#include<iostream>using namespace std;#define md 1000000007#define maxn 100005char s[maxn];long long power(long long a,long long b){long long base=a,sum=1;while(b!=0){if(b&1)sum=(sum*base)%md;base=(base*base)%md;b>>=1;}return sum%md;}int main(){while(~scanf("%s",s)){int len=strlen(s);long long num=0;for(int i=0;i<len;i++)//大数取模 同余模定理{num=(num*10+(int)(s[i]-'0'))%(md-1);}//因为计算2^(n-1),相当于计算 2^(num-1)if(num==0)//说明num=md-1{num=md-1;}printf("%lld\n",power(2,num-1));}return 0;}