积性函数的性质及证明 + 线性筛

引言

在数论问题中，积性函数有着广泛的应用。
如在莫比乌斯反演问题中，函数变换之后如何快速维护前缀和往往是最重要也是最难的一步。如果维护的函数具有积性，那就可以尝试利用线性筛在O(n)的时限内完成预处理，从而达到优化复杂度的神奇作用。
本文的大部分相关性质及公式来自：
《线性筛与积性函数》−贾志鹏
博主将试着证明其中的性质公式，严谨性可能欠缺，其目的主要是帮助记忆和理解。
因水平有限 若有错误之处还望指出qwq~

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积性函数的定义和性质

定义： 对于一个定义域为N+的函数f，对于任意两个互质的正整数a,b，均满足f(ab)=f(a)f(b)，则称函数f为积性函数
若对于任意整数a,b都有f(ab)=f(a)f(b)，则函数f被称为完全积性函数。

性质：
(1)对于任意积性函数f，均有f(1)=1

证明：因1与任何数都互质，假设存在一个正整数a满足f(a)!=0，故由定义：

f(a)=f(1∗a)=f(1)f(a)

因f(a)不为0，故等号两端同时消去一个f(a)，得：

f(1)=1

证毕。

(2)对于一个大于1的正整数N，设N=∏paii，pi为互不相同的素数。那么对于一个积性函数f来说，有：

f(N)=f(∏paii)=∏f(paii)

若f完全积性，则

f(N)=∏f(pi)ai

证明：由积性和完全积性的定义易得。

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欧拉函数φ

定义：对于正整数n，φ(n)是小于n的正整数中与n互质的个数。

定义式：若n=∏paii

φ(n)=n∏(1−1pi)

性质：
(1)欧拉函数为积性函数，而不是完全积性函数。

证明：设两个互质的正整数n,m
则：
φ(n)=n∏(1−1pi)
φ(m)=m∏(1−1p′i)
φ(n)φ(m)=n∏(1−1pi)m∏(1−1p′i)=nm∏(1−1pi)(1−1p′i)
因n,m互质，故 pi,p′i 各不相同，且均为nm的质因子。

故推出：
φ(nm)=φ(n)φ(m)
积性函数性质得证。
而完全积性由上证明可见，n,m互质是一个严格且不可或缺的条件，可见，欧拉函数不是完全积性函数。

(2)假设存在一个素数p和一个正整数k，则：φ(pk)=pk−pk−1
证明：

可以从反面来思考这件事，在小于pk且与其不互质的数有以下形式：
p∗1,p∗2,...p∗(pk−1−1)(因为p是唯一的质因子)
故由定义：φ(pk)=总数 - 不互质的数 = (pk−1)−(pk−1−1)=pk−pk−1
证毕。

另外还可以从定义式出发去理解这个结论。

φ(pk)=pk(1−1p)=pk−pk−1

(3)欧拉定理：若有互质的两个正整数a,n，则有aφ(n)≡1(mod n)
此定理常用来求解逆元。

证明：（可参考百度百科）

(4)假设存在一个正整数n，则：∑d|nφ(d)=n

证明：
先考虑特殊情况: n=1时 φ(1)=1 显然成立
对于一般情况，n一定可以质因数分解为：n=pa11pa22...pakk

当n只含一个质因子时，即n=pa
有：

∑d|nφ(d)=∑i=0aφ(pi)=1+∑i=1a(pi−pi−1)=1+∑i=1a(−pi−1+pi)

显然，将求和式展开，会有一些项可以合并。
比如a=3时，原式等于：

1−p0+p1−p1+p2−p2+p3=p3

可见：

∑d|nφ(d)=∑i=0aφ(pi)=pa=n

当n含多个质因子时，即n=pa11pa22...pakk
利用积性函数的性质有

∑d|nφ(d)=∑i=0a1φ(pi1)∑i=0a2ϕ(pi2)......∑i=0akφ(pik)

同上易得：

原式=pa11pa22......pakk=n

证毕。

(5)当n>1，小于n且与n互质的数之和为

sum=nφ(n)2

证明：在数论求gcd中，有两个非常出名的公式，基于这两个公式，出现了两种快速求gcd的方法，更相减损法和辗转相除法。这两个公式是：(假设有两个正整数a,b且满足 a>b)
gcd(a,b)=gcd(a,a−b) 和 gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

由第一个公式，知：
若m与n互质，则n−m也一定与n互质。
这样就能将保证当n>2时，φ(n)一定为偶数，且可两两配对，每一对的和都是n。
故

sum=nφ(n)2

当n=2时，代入验证知，此公式依然满足。

证毕。

例题：HDU 3501
题意：求小于n且与n不互质的数之和。
思路：直接利用公式求反面，总数 - 反面数即为答案。
代码：

#include<cstdio>#include<cstdlib>#include<cstring>#include<cmath>#include<algorithm>using namespace std;typedef long long ll;const int mod = 1000000007;const int A = 1e5 + 10;bool vis[A];int pri[A],tot;void init(){    tot = 0;    vis[0] = vis[1] = 1;    for(int i=2 ;i<A ;i++){        if(vis[i] == 0) pri[++tot] = i;        for(int j=1 ;j<=tot&&pri[j]*i<A ;j++){            vis[pri[j]*i] = 1;            if(i%pri[j] == 0) break;        }    }}int main(){    init();    ll n;    while(~scanf("%I64d",&n) && n){        ll ans = (n*(n-1)/2)%mod;        ll res = n,m = n;        for(int i=1 ;i<=tot&&pri[i]*pri[i]<=n ;i++){            if(n%pri[i] == 0){                res = res/pri[i]*(pri[i]-1);                while(n%pri[i] == 0) n/=pri[i];            }        }        if(n!=1) res = res/n*(n-1);        ans = ans - res*m/2;        printf("%I64d\n",(ans%mod+mod)%mod);    }    return 0;}

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莫比乌斯函数μ

定义式：

μ(n)=⎧⎩⎨⎪⎪1(−1)k0(n=1)(n=p1p2...pk)(else)

性质：
(1)对于任意正整数n，有：

∑d|nμ(d)=[n==1]

该性质在莫比乌斯反演中有着极大应用。

证明：
当n=1时 等式显然成立。
当n>1时，令n=pa11pa22pa33...pakk
考虑莫比乌斯函数取值的特殊性，若函数值不为0，则d只含每个质因子的0次或1次项。
故

∑d|nμ(d)=C0k−C1k+C2k...+(−1)kCkk=∑i=0k(−1)iCik

由二项式定理，原式等于：

∑i=0k(−1)iCik=∑i=0kCik(−1)i(1)k−i=(−1+1)k=0

综上所述：
当n=1原式为1
当n>1原式为0
证毕。

(2)对于任意正整数n，有：

∑d|nμ(d)d=φ(n)n

证明：
令f(n)满足：f(n)=∑d|nφ(d)

由欧拉函数的性质(4)：f(n)=n
又由莫比乌斯反演:

φ(n)=∑d|nμ(d)f(nd)

推出：

φ(n)=∑d|nnμ(d)d=n∑d|nμ(d)d

等式两边同除以n，得：

φ(n)n=∑d|nμ(d)d

证毕。

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线性筛求积性函数

欧拉函数φ

考虑将所有数分成三类：
(1)质数 φ(i)=i−1

(2)最小质因子指数为1：φ(i∗p)=φ(i)φ(p)

(3)最小质因子指数大于1：φ(i∗p)=p∗φ(i)（可从欧拉函数的定义式出发）

代码：

void init(){    tot = 0;phi[1] = 1;    for(int i=2 ;i<A ;i++){        if(!vis[i]){pri[++tot] = i;phi[i] = i-1;}        for(int j=1 ;j<=tot&&i*pri[j]<A ;j++){            vis[i*pri[j]] = 1;            if(i%pri[j] == 0){                phi[i*pri[j]] = pri[j] * phi[i];break;            }            phi[i*pri[j]] = phi[pri[j]] * phi[i];        }    }}

莫比乌斯函数μ

因为线性筛每次都是用最小质因子去筛每一个数。
故也可分为三类：
(1)i为质数：μ[i]=−1

(2)i已经包含最小质因子p：μ[i∗p]=0

(3)i不包含最小质因子p ：μ[i∗p]=−μ[i]

代码：

void init(){    tot = 0;mu[1] = 1;    for(int i=2 ;i<A ;i++){        if(!vis[i]){pri[++tot] = i;mu[i] = -1;}        for(int j=1 ;j<=tot&&i*pri[j]<A ;j++){            vis[i*pri[j]] = 1;            if(i%pri[j] == 0){mu[i*pri[j]] = 0;break;}            mu[i*pri[j]] = -mu[i];        }    }}

以下为其他常见积性函数的线性筛：

约数个数函数d

仍然分三类讨论，此时我们还需要维护每一个数i最小质因子的指数cnt[i]
(1)i为质数：d[i]=2 cnt[i]=1

(2)i已经包含最小质因子p：
d[i∗p]=d[i]/(cnt[i]+1)∗(cnt[i]+2)（由约数个数公式易得）
cnt[i∗p]=cnt[i]+1

(3)i不包含最小质因子p ：
d[i∗p]=d[i]∗(cnt[p]+1)=d[i]∗2
cnt[i∗p]=1

代码：

void init(){    tot = 0;d[1] = 1;    for(int i=2 ;i<A ;i++){        if(!vis[i]){pri[++tot] = i;d[i] = 2;cnt[i] = 1;}        for(int j=1 ;j<=tot&&i*pri[j]<A ;j++){            vis[i*pri[j]] = 1;            if(i%pri[j] == 0){                d[i*pri[j]] = d[i]/(cnt[i]+1)*(cnt[i]+2);                cnt[i*pri[j]] = cnt[i] + 1;                break;            }            d[i*pri[j]] = d[i]<<1;            cnt[i*pri[j]] = 1;        }    }}

约数和函数σ

假设一个正整数n分解质因子之后为：
n=pa11pa22pa33...pakk
则

σ(n)=∑i=0a1pi1∑i=0a2pi2.....∑i=0akpik

假设最小质因子为p1故线性筛中每一个被筛到的数比起原来的数，差别只在于：∑a1i=0pi1

故我们可以维护两个量：
sum[i]:i的最小质因子p1贡献的和：∑a1i=0pi1
Mx[i]: pa11a1 为最小质因子的最高次数。

然后又可以把所有数分成三类：
(1)i为质数：σ[i]=i+1 sum[i]=i+1 Mx[i]=i

(2)i已经包含最小质因子p：σ[i∗p]=σ[i]/sum[i]∗(sum[i]+Mx[i]∗p)
sum[i∗p]=sum[i]+Mx[i]∗p
Mx[i∗p]=Mx[i]∗p

(3)i不包含最小质因子p ：σ[i∗p]=σ[i]∗σ[p]=σ[i]∗(p+1)
sum[i∗p]=p+1
Mx[i∗p]=p

代码：

void init(){    tot = 0;Sigma[1] = 1;    for(int i=2 ;i<A ;i++){        if(!vis[i]){            pri[++tot] = i;            Sigma[i] = 1 + i;            sum[i] = 1 + i;            Mx[i] = i;        }        for(int j=1 ;j<=tot&&i*pri[j]<A ;j++){            vis[i*pri[j]] = 1;            if(i%pri[j] == 0){                Sigma[i*pri[j]] = Sigma[i]/sum[i]*(sum[i] + Mx[i]*pri[j]);                sum[i*pri[j]] = sum[i] + Mx[i]*pri[j];                Mx[i*pri[j]] = Mx[i]*pri[j];                break;            }            Sigma[i*pri[j]] = Sigma[i]*(pri[j] + 1);            sum[i*pri[j]] = pri[j] + 1;            Mx[i*pri[j]] = pri[j];        }    }}