欧拉函数的性质证明（欧拉筛）

   该算法在可在线性时间内筛素数的同时求出所有数的欧拉函数。

   这个定理搞了很长时间不能理解：

有幸发现一篇博客给出证明: 原文链接

    需要用到如下性质(p为质数)：

    1. phi(p)=p-1   因为质数p除了1以外的因数只有p，故1至p的整数只有p与p不互质

    2. 如果i mod p = 0, 那么phi(i * p)=p * phi(i)  证明如下

    (上述证明存在bug。。感谢@PrimaryOIer指教)

    上面的过程证明了从区间[1,i]->[i+1,i+i]，若整数n不与i互质，n+i依然与i不互质。下面给出另一个证明：若整数n与i互质，n+i与i依然互质

    3.若i mod p ≠0,  那么phi(i * p)=phi(i) * (p-1)

        i mod p 不为0且p为质数, 所以i与p互质, 那么根据欧拉函数的积性phi(i * p)=phi(i) * phi(p) 其中phi(p)=p-1即第一条性质

#include<iostream>  #include<cstdio>  #define N 40000  using namespace std;  int n;  int phi[N+10],prime[N+10],tot,ans;  bool mark[N+10];  void getphi()  {     int i,j;     phi[1]=1;     for(i=2;i<=N;i++)//相当于分解质因式的逆过程     {         if(!mark[i])             {               prime[++tot]=i;//筛素数的时候首先会判断i是否是素数。               phi[i]=i-1;//当 i 是素数时 phi[i]=i-1               }         for(j=1;j<=tot;j++)         {            if(i*prime[j]>N)  break;            mark[i*prime[j]]=1;//确定i*prime[j]不是素数            if(i%prime[j]==0)//接着我们会看prime[j]是否是i的约数            {               phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];break;            }            else  phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);//其实这里prime[j]-1就是phi[prime[j]]，利用了欧拉函数的积性         }     }  }  int main()  {      getphi();  }