欧拉函数的一个性质及其证明

性质

欧拉函数φ(n)指小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目，假设

n=pe11∗pe22∗⋅⋅⋅∗pekk（pi是质数(1<=i<=k)）

那么

φ(n)=(p1−1)pe1−11∗(p2−1)pe2−12∗⋅⋅∗(pk−1)pek−1k⋅

其中

∑d|nφ(d)=n

证明

令函数

f(n)=∑d|nφ(d)

因此

f(peii)=φ(1)+φ(pi)+φ(p2i)+⋅⋅⋅+φ(peii)=1+pi−1+p2i−pi+⋅⋅⋅+peii−pei−1i=peii（pi是质数(1<=i<=k)）

因为φ(n)是积性函数，所以f(n)也是积性函数（这里没证明）。
假设

n=pe11∗pe22∗⋅⋅⋅∗pekk

所以

∑d|nφ(d)=f(n)=f(pe11∗pe22∗⋅⋅⋅∗pekk)=f(pe11)∗f(pe22)∗⋅⋅⋅∗f(pekk)=pe11∗pe22∗⋅⋅⋅∗pekk=n