背包问题之01背包问题

题目：

有n件物品和一个容量为v的背包。第i件物品的容量是c[i]，价值为w[i]。

求解将哪些物品装入背包可以使得这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

基本思路：

作为最基础的背包问题，特点是：每种物品只有一件，可以选择放或者是不放。

用子问题定义状态：f[i][v]表示前i件物品恰好放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则状态转移方程为：f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}。

状态方程可解释如下：

“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个问题，如果只是考虑第i件物品的话，那么只有两种状态，放或者不放，那么这个问题实际上可以转化为只关系到前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”，此时能够获得的最大价值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。

f[i][v]有意义当且仅当存在一个前i件物品的子集，其费用总和为v。所以按照这个方程递推完毕后，最终的答案并不一定是f[n][v]，而是f[n][0...v]的最大值。如果将状态的定义中的“恰”字去掉，在转移方程中就要再加入一项f[i][v-1]，这样就可以保证f[n][v]就是最后的答案。（(O_O)?这个不是特别明白......等我回来明白了再说吧！。。。）

优化空间复杂度：

以上方法的时间和空间复杂度均为O(n*v)，其中时间复杂度已经不能够再继续优化啦，但是空间复杂度可以继续优化，直至O(v)。

以上的基本思路的实现：

首先要有一个主循环i=1...n，接下来算出f[i][0...v]的所有值。

如果只用一维数组的话，f[0...v]，这就要求我们在每一次主循环中以i=v...0的顺序推f[v]，因为只有这个样子才可以保证推f[v]的时候f[v-c[i]]保存的是状态f[v-c[i]]保存的状态时f[i-1][v-c[i]]的值。

伪代码如下：

for i=1...n

for j=v...0

f[j]=max{f[j],f[j-c[i]]+w[i]};

其中的f[j]=max{f[j],f[j-c[i]]}就相当于我们的转移方程f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]}，因为现在的f[v-c[i]]就相当于f[i-1][v-c[i]]。

相关题目&代码+分析：

HDU 2602 Bone Collector

分析：

本题。。。就是01背包问题的板子题。。。。。。作为最基础问题，小试牛刀下吧~

代码如下：

#include<iostream>#include<cstring>using namespace std;#define maxn 1100int t,n,v;int values[maxn];int weight[maxn];int f[maxn];int main(){    cin>>t;    while(t--){        cin>>n>>v;        memset(values,0,sizeof(values));        memset(weight,0,sizeof(weight));        memset(f,0,sizeof(f));        for(int i=1;i<=n;i++)            cin>>values[i];        for(int i=1;i<=n;i++)            cin>>weight[i];        for(int i=1;i<=n;i++){            for(int j=v;j>=weight[i];j--){               f[j]=max(f[j],f[j-weight[i]]+values[i]);            }        }        cout<<f[v]<<endl;    }return 0;}

HDU 2191 悼念512汶川大地震遇难同胞——珍惜现在，感恩生活

分析：

题目是沉重的，题意是显然的。

本题也是01背包问题的板子题。。。。。。代码就不挂啦~

珍惜现在，感恩生活，热爱生命！

HDU 2456 饭卡

分析：

这道题应该可以称得上是典型的01背包问题了吧，每样菜只能买一次嘛。（题目的逻辑是不是有问题......那个“所以大家都希望尽量使卡上的余额最少。”的“所以”是不是用错了......）

 因为想让卡上的余额最小，又因为当卡上的余额大于等于五的时候，买啥都行，所以说可以先预先留下5块钱，用来买最贵的那个东西，这样对于其他东西和余下的钱来说，就真的构成了01背包问题。

代码如下：

#include<iostream>#include<algorithm>#include<cstring>using namespace std;#define maxn 1010int n,m;int price[maxn];int f[maxn];int ans;int main(){    while(cin>>n){        if(n==0)            break;        memset(price,0,sizeof(price));        memset(f,0,sizeof(f));        for(int i=1;i<=n;i++)            cin>>price[i];        cin>>m;        if(m<5)            cout<<m<<endl;        else{            sort(price+1,price+n+1);            m-=5;            for(int i=1;i<n;i++){                for(int j=m;j>=price[i];j--)                    f[j]=max(f[j],f[j-price[i]]+price[i]);            }            cout<<m+5-f[m]-price[n]<<endl;        }    }return 0;}