边与最小割（bzoj 1797: [Ahoi2009]Mincut 最小割）

1797: [Ahoi2009]Mincut 最小割

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Description

A,B两个国家正在交战，其中A国的物资运输网中有N个中转站，M条单向道路。设其中第i (1≤i≤M)条道路连接了vi,ui两个中转站，那么中转站vi可以通过该道路到达ui中转站，如果切断这条道路，需要代价ci。现在B国想找出一个路径切断方案，使中转站s不能到达中转站t，并且切断路径的代价之和最小。 小可可一眼就看出，这是一个求最小割的问题。但爱思考的小可可并不局限于此。现在他对每条单向道路提出两个问题： 问题一：是否存在一个最小代价路径切断方案，其中该道路被切断？ 问题二：是否对任何一个最小代价路径切断方案，都有该道路被切断？ 现在请你回答这两个问题。

Input

第一行有4个正整数，依次为N,M,s和t。第2行到第(M+1)行每行3个正 整数v,u,c表示v中转站到u中转站之间有单向道路相连，单向道路的起点是v， 终点是u,切断它的代价是c(1≤c≤100000)。 注意:两个中转站之间可能有多条道路直接相连。 同一行相邻两数之间可能有一个或多个空格。

Output

对每条单向边，按输入顺序，依次输出一行，包含两个非0即1的整数，分 别表示对问题一和问题二的回答(其中输出1表示是，输出0表示否)。 同一行相邻两数之间用一个空格隔开，每行开头和末尾没有多余空格。

Sample Input

6 7 1 6

1 2 3

1 3 2

2 4 4

2 5 1

3 5 5

4 6 2

5 6 3

Sample Output

1 0

1 0

0 0

1 0

0 0

1 0

1 0

题解：网络流+强连通分量

步骤：

1、先跑一波网络流求出残余网络（注意残余网络的边有可能比原图的边还要多）

2、对于残余网络，Trajan处理出scc[]，其中属于同一强连通分量的两个点scc[]值相等

3、判定：首先显然scc[s]!=scc[t]，那么有

①对于任意一条满流边(u,v)，(u,v)能够出现在某个最小割集中，当且仅当scc[u]!=scc[v]（在残余网络中，当然不存在边(u,v)，相反一定存在边(v,u)）

证明：将原图中（注意是原图所以这里不能dfs）每个强连通分量缩成一个点，得到的新图就只含有满流边了，而每一个这样的满流边都是最小割

 ②对于任意一条满流边(u,v)，(u,v)必定出现在最小割集中，当且仅当id[u]==id[S]且id[v]==id[T]

证明：假设将(u,v)的边权增大，那么残余网络中会出现S->u->v->T的通路，从而能继续增广，这也说明原图S和T就连通了

#include<stdio.h>#include<stack>#include<string.h>#include<queue>using namespace std;#define inf 2147483647typedef struct{int x;int y;}Res;Res s[200005];typedef struct{int to, next;int flow;}Road;Road G[200005];stack<int> st;queue<int> q;int cnt, n, m, S, T, t, head[4010], h[4010], low[4010], time[4010], scc[4010];void Add(int u, int v, int flow){cnt++;G[cnt].next = head[u];head[u] = cnt;G[cnt].to = v;G[cnt].flow = flow;}int Jud(){int now, i;queue<int> q;memset(h, -1, sizeof(h));q.push(S);h[S] = 0;while(q.empty()==0){now = q.front();q.pop();for(i=head[now];i!=0;i=G[i].next){if(G[i].flow && h[G[i].to]==-1){h[G[i].to] = h[now]+1;q.push(G[i].to);}}}if(h[T]!=-1)return 1;return 0;}int Sech(int x, int flow){int w, used, i;if(x==T)return flow;used = 0;for(i=head[x];i!=0;i=G[i].next){if(h[G[i].to]==h[x]+1){w = Sech(G[i].to, min(flow-used, G[i].flow));G[i].flow -= w;G[i^1].flow += w;used += w;if(used==flow)return flow;}}if(used==0)h[x] = -1;return used;}void Dinic(){while(Jud())Sech(S, inf);}void Tarjan(int u){int i, v;st.push(u);low[u] = time[u] = ++t;for(i=head[u];i!=0;i=G[i].next){v = G[i].to;if(G[i].flow==0)continue;if(time[v]==0){Tarjan(v);low[u] = min(low[u], low[v]);}else if(scc[v]==0)low[u] = min(low[u], time[v]);}if(low[u]==time[u]){++cnt;while(st.empty()==0){v = st.top();st.pop();scc[v] = cnt;if(v==u)break;}}}int main(void){int w, i, u, v;cnt = 1;scanf("%d%d%d%d", &n, &m, &S, &T);for(i=1;i<=m;i++){scanf("%d%d%d", &s[i].x, &s[i].y, &w);Add(s[i].x, s[i].y, w);Add(s[i].y, s[i].x, 0);}Dinic();cnt = 0;for(i=1;i<=n;i++){if(time[i]==0)Tarjan(i);}for(i=1;i<=m;i++){u = s[i].x, v = s[i].y;if(G[i*2].flow || scc[u]==scc[v])printf("0 0\n");else if(scc[u]==scc[S] && scc[v]==scc[T])printf("1 1\n");elseprintf("1 0\n");}return 0;}