【 bzoj 1797 】[Ahoi2009]Mincut 最小割 - 经典题

　　这个题就是要求一条边在最小割里面的充分条件和必要条件。
　　首先考虑第一问，也即求充分条件。
　　我们先对这个图进行最大流算法得到任意一个最小割。设这个时候的残量网络为Gf。那么Gf中的点集可以显然地被分成了三部分，一部分是源s可以到达的，一部分是可以到达t的，剩下的独立成一部分。
　　可以证明，第一类点一定会被归为最小割中的S集，第二类点一定会被归为T集，第三类点两个集合均有可能。显然割边联接着的一定是S集点和T集点且在Gf中一定满流。
　　考虑一条满流边(u,v)。如果Gf中存在u→v的路径，这条边一定不会在割集里面，反之亦然，证明是显然的。
　　这样我们就可以对残量网络缩点，对每条满流边判断是否在同一个强联通分量内即可求出第一问。
　　对于第二问，因为割边连着S集和T集，所以只需判断一条边是否连着S连通块和T连通块即可。
　　代码：
　　

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;#define rep(i,a,b) for (int i = a , _ = (b) ; i <= _ ; i ++)#define per(i,a,b) for (int i = a , _ = (b) ; i >= _ ; i --)#define fore(i,u)  for (int i = head[u] ; i ; i = nxt[i])inline int rd() {    char c = getchar();    while (!isdigit(c)) c = getchar() ; int x = c - '0';    while (isdigit(c = getchar())) x = x * 10 + c - '0';    return x;}inline void upmin(int&a , int b) { if (a > b) a = b ; }const int maxn = 5007;const int maxm = 120007;const int inf = 0x7fffffff;typedef int arr[maxn];typedef int adj[maxm];arr head , belong , dis , pos , low , cur;adj fr , to , nxt , cap , flow;int n , m , S , T , ett , scc_cnt , dfs_clock;stack<int> s;queue<int> Q;inline void ins(int u , int v , int c) {    fr[++ ett] = u , to[ett] = v , nxt[ett] = head[u] , cap[ett] = c , head[u] = ett;    fr[++ ett] = v , to[ett] = u , nxt[ett] = head[v] , cap[ett] = 0 , head[v] = ett;}void input() {    ett = 1;    n = rd() , m = rd() , S = rd() , T = rd();    rep (i , 1 , m) {        int u = rd() , v = rd() , w = rd();        ins(u , v , w);    }}bool bfs() {    rep (i , 1 , n) dis[i] = inf;    dis[S] = 0 , Q.push(S);    while (!Q.empty()) {        int u = Q.front() ; Q.pop();        fore (i , u) {            int v = to[i];            if (dis[v] == inf && cap[i] > flow[i])                dis[v] = dis[u] + 1 , Q.push(v);        }    }    return dis[T] != inf;}int dfs(int u , int a) {    if (u == T || !a) return a;    int ret = 0 , f;    for (int&i = cur[u] ; i ; i = nxt[i]) {        int v = to[i];        if (dis[v] == dis[u] + 1 && (f = dfs(v , min(a , cap[i] - flow[i]))) > 0) {            flow[i] += f , flow[i ^ 1] -= f , ret += f , a -= f;            if (!a) break;        }    }    return ret;}void tarjan(int u , int p) {    pos[u] = low[u] = ++ dfs_clock;    s.push(u);    fore (i , u) if (cap[i] > flow[i]) {        int v = to[i];//      printf("%d %d\n" , u , v);        if (!pos[v]) {            tarjan(v , u);            upmin(low[u] , low[v]);        } else if (!belong[v])            upmin(low[u] , pos[v]);    }    if (low[u] == pos[u]) {        scc_cnt ++;        for (;;) {            int x = s.top() ; s.pop();            belong[x] = scc_cnt;            if (x == u) break;        }    }}void solve() {    int mx_flow = 0;    while (bfs()) {        rep (i , 1 , n) cur[i] = head[i];        mx_flow += dfs(S , inf);    }    rep (u , 1 , n) if (!pos[u]) tarjan(u , 0);    rep (i , 1 , m) {        int u = fr[i << 1] , v = to[i << 1] , f = (flow[i << 1] == cap[i << 1]);        printf("%d%c" , belong[u] != belong[v] && f , ' ');        printf("%d%c" , belong[u] == belong[S] && belong[v] == belong[T] , '\n');    }}int main() {    #ifndef ONLINE_JUDGE        freopen("data.txt" , "r" , stdin);    #endif    input();    solve();    return 0;}