算法与数据结构-常用排序算法总结2-桶排序

序言

排序算法大体可分为两种：

比较排序：冒泡排序，选择排序，插入排序，归并排序，堆排序，快速排序等非比较排序：基数排序，计数排序，桶排序等

本文介绍非比较排序算法中的桶排序算法。

桶排序（Bucket Sort）

• 原理

  • 又称箱排序，原理为：将数组元素分到有限数量的桶子里，每个桶子再单独进行排序

    • 单独排序可能使用别的排序算法（比较排序算法）或是以递归方式继续使用桶排序进行排序

  • 桶排序的思想：映射函数。

    • 假设有M个桶，N个数据待排，将待排序列的关键字映射到某一个桶中，该关键字即该桶中的一个元素。

    • 一个桶中可能有多个元素，桶内可使用比较排序算法（快排、插入排序等）或者继续递归桶排序

    • 映射函数举例说明：

      • 假如待排序列K = {49、 38 、 35、 97 、 76、 73 、 27、 49 }
      • 这些数据全部在1—100之间。因此我们定制10个桶，然后确定映射函数f(k) = k/10
      • 那么，第一个关键字49将定位到第4个桶中(49/10 = 4)
      • 依次将所有关键字全部堆入桶中，并在每个非空的桶中进行快速排序
      • 最后，顺序输出每个桶中的数据就可以得到有序序列了

  • 动态示意图：http://www.cs.usfca.edu/~galles/visualization/BucketSort.html

• 步骤

  • 设置一个定量的数组当作空桶

  • 根据映射关系，将数组元素一个个放入对应的桶中

  • 对每个不为空的桶进行单独排序（冒泡排序，插入排序，快速排序，归并排序等）

  • 将不为空的桶中将元素放回原数组中

• 要点

  • 映射函数/关系的设计

  • 桶内排序

• 时间复杂度分析

  • 桶排序的时间复杂度分为两部分（假设元素个数为n，桶个数为M）

    • 循环计算每个元素的桶映射函数/关系，这个时间复杂度为O(N)

    • 假设桶内排序使用时间复杂度为O(N*logN)，这个时间复杂度为∑O(Ni*logNi)

  • 显然，桶内排序是桶排序性能好坏的决定因素。

    • 尽量减少桶内数据的数量是提高效率的唯一办法，基于比较排序的最好平均时间复杂度只能达到O(N*logN)。为了减小时间复杂度，需尽量做到下面两点：

      • （1）映射函数f(k)能够将N个数据平均的分配到M个桶中，这样每个桶就有[N/M]个数据量

        • （桶内元素分布不平衡将导致算法效率大大降低，如果所有数据都落在同一个桶中，则退化为一般的比较排序了）

      • （2）尽量的增大桶的数量。极限情况下每个桶只能得到一个数据，避开桶内数据的“比较”排序操作

    • 桶数量越多，意味着空间浪费越大，所以在时间和空间复杂度之间需要做出权衡

  • 最优时间复杂度：O(N)

    • 假设N个待排数据，M个桶，平均每个桶N/M个数据，则时间复杂度为

    • O(N) + O(M*(N/M)*log(N/M)) = O(N + N*(logN - logM))

    • 当N = M时，即极限情况下每个桶一个数据，桶排序的最优时间复杂度能达到：O(N)

  • 平均时间复杂度：O(N + C)

    • 其中C = N*(logN - logM)

    • M越大，效率越高。“桶越多，效率越高”

• 空间复杂度分析

  • 桶排序的空间复杂度为：O(N + M)

  • 当输入数据量很大，桶数量也非常多时，空间代价相应也增大

• 评价

  • 桶排序是稳定的

  • 桶排序利用函数的映射关系，减少了几乎所有的比较工作。

    • 实际上，桶排序的f(k)值的计算，其作用就相当于快排中划分，希尔排序中的子序列，归并排序中的子问题，已经把大量数据分割成了基本有序的数据块(桶)。然后只需要对桶中的少量数据做先进的比较排序即可。　

  • 计数排序与桶排序比较：

    • 桶排序算是计数排序的一种改进和推广，比计数排序更为复杂

  • 基数排序与桶排序的比较：

    • 基数排序的性能比桶排序要略差。

      • 每一次关键字的桶分配都需要O(N)的时间复杂度，而且分配之后得到新的关键字序列又需要O(N)的时间复杂度。假如待排数据可以分为d个关键字，则基数排序的时间复杂度将是O(d*2N) ，当然d要远远小于N，因此基本上还是线性级别的。基数排序的空间复杂度为O(N+M)，其中M为桶的数量。一般来说N>>M，因此额外空间需要大概N个左右。

    • 但是，对比桶排序，基数排序每次需要的桶的数量并不多。而且基数排序几乎不需要任何“比较”操作，而桶排序在桶相对较少的情况下，桶内多个数据必须进行基于比较操作的排序。因此，在实际应用中基数排序的应用范围更加广泛。

Code Example

/**************************************功能：桶排序参数：    pos:第pos位    n:数组元素个数**************************************/    #include <stdio.h>       #include <stdlib.h>       #include <string.h>       #define N 10            //数组元素个数    struct barrel    {           int node[N];        int count;          //元素个数    };       /* 输出函数 */    void  PrintArr(int arr[],int n)    {        for(int i = 0; i < n; ++i)            printf("%d ", arr[i]);          printf("\n");    }    /* 直接插入排序 */    void InsertionSort(int array[], int count)    {        for (int i = 0; i < count; i++)        {            int temp = array[i];            int j = i;            while (j - 1 >= 0 && temp < array[j - 1])            {                array[j] = array[j - 1];                j--;            }            array[j] = temp;        }    }    /* 桶排序函数 */    void BucketSort(int data[], int n)       {           int max, min, bucket_num, pos;           int i, j, k;           struct barrel *pBarrel;           //提取数组最大最小值，确定映射关系        max = min = data[0];           for (i = 1; i < n; i++)         {               if (data[i] > max)             {                   max = data[i];               }             else if (data[i] < min)             {                   min = data[i];               }           }           bucket_num = (max - min + 1) / 10 + 1;        //桶空间分配即初始化           pBarrel = (struct barrel*)malloc(sizeof(struct barrel) * bucket_num);           memset(pBarrel, 0, sizeof(struct barrel) * bucket_num);           //数组元素放入桶内        for (i = 0; i < n; i++)         {               k = (data[i] - min + 1) / 10;       //应放入哪个桶内             (pBarrel + k)->node[(pBarrel + k)->count] = data[i];               (pBarrel + k)->count++;             //计数        }           //桶内排序           pos = 0;           for (i = 0; i < bucket_num; i++)         {               //直接插入排序            InsertionSort((pBarrel+i)->node, (pBarrel+i)->count);            //桶内排序完成即输出            for (j = 0; j < (pBarrel+i)->count; j++)             {                   data[pos++] = (pBarrel+i)->node[j];               }           }           free(pBarrel);       }       int main()       {           int data[] = {78, 17, 39, 26, 72, 94, 21, 12, 23, 91}, i;           int n = sizeof(data) / sizeof(int);           //函数调用        BucketSort(data, n);           //输出        PrintArr(data, n);        return 0;    }  

注：

• 以上桶排序算法元素采用结构体方式存储，为了易于变更和操作，在实际应用中可采用链表方式，可参考文章：http://hxraid.iteye.com/blog/647759

• 桶内排序使用了直接插入排序，可修改为其他比较排序算法，比如快排、归并、冒泡等

Acknowledgements:
http://blog.csdn.net/han_xiaoyang/article/details/12163251#t139（推荐，桶排序的应用实例）
http://blog.csdn.net/houapple/article/details/6480100
https://segmentfault.com/a/1190000003054515

2017.08.09