1052 最大M子段和
来源:互联网 发布:中国顾问在叙利亚知乎 编辑:程序博客网 时间:2024/06/06 02:34
最大m子段和
一、定义
给定由n个整数(可能为负)组成的序列a1、a2、a3...,an,
以及一个正整数m,要求确定序列的m个不想交子段,使这m个子段的总和最大!
二、解题思路
动态规划,借助矩阵可以直观的看到计算过程。定义二维数组dp, dp[ i ][ j ],表示前 j 项所构成 i 子段的最大和,且必须包含着第j项,即以第j项结尾然后是一个递推过程。求dp[ i ][ j ],有两种情况1、dp[ i ][ j ] = dp[ i ] [ j-1 ] + a[ j ] ,即把第j项融合到第 j-1 项的子段中,子段数没变2、dp[ i ][ j ] = dp[ i-1 ] [ t ] + a[ j ],(i-1<= t < j )
把第 j 项作为单独的一个子段,然后找一下i-1个子段时,最大的和,然后加上a[ j ]
然后比较上面两种情况,取大的。下面看图,红色数字为输入的序列:如图,要求dp[ 3 ][ 6 ],只需比较他左边的那个,和上面那一行圈起来的之中最大的数,再加上a[ j ] 即为dp[ 3 ][ 6 ] 的值。优化一下:1、沿着第m行的最后一个元素,往左上方向画一条线,线右上方的元素是没必要计算的
那么dp[ i ][ j ] ,j++的时候,j的上限为 i + n - m 即可。还有左下角那一半矩阵,也是不用计算的,因为1个数字不可能分为2个子段
2、每确定一个dp[ i ][ j ],只需用到本行和上一行,所以不用开维数组也可以,省内存。
开两个一维数组,pre和dp,pre记录上一行,dp记录当前行
3、再对上一行红圈中的数字找最大值时,若用一个循环来找,容易超时。
优化方法:在每次计算dp之前,同时记录下j前面的最大元素。
时间复杂度大致为O(m*(n-m+1)),mn-m方通过图片,分析情况1和2,就能发现,从左上角走到第 m 行的最后一个元素即可,找出第 m 行的最大值即为答案。详见例题。
三、例题
1、51nod 10521052 最大M子段和基准时间限制:2 秒 空间限制:131072 KB 分值: 80 难度:5级算法题N个整数组成的序列a[1],a[2],a[3],…,a[n],将这N个数划分为互不相交的M个子段,并且这M个子段的和是最大的。如果M >= N个数中正数的个数,那么输出所有正数的和。例如:-2 11 -4 13 -5 6 -2,分为2段,11 -4 13一段,6一段,和为26。Input第1行:2个数N和M,中间用空格分隔。N为整数的个数,M为划分为多少段。(2 <= N , M <= 5000)第2 - N+1行:N个整数 (-10^9 <= a[i] <= 10^9)Output输出这个最大和Input示例7 2-211-413-56-2Output示例26
【AC代码】:
#include<stdio.h> typedef long long ll; template<class T>T max(T a,T b){ return a>b?a:b; } int n,m; int main() { while(~scanf("%d%d",&n,&m)) { ll a[5050]={0}; ll dp[5002]={0}; ll pre[5002]={0};//记录上一行 for(int i=1;i<=n;i++) { scanf("%lld",a+i); } for(int i=1;i<=m;i++)//分为i段 { dp[i]=pre[i-1]+a[i];//先假设为左上角那个元素为最优值 ll maxpre=pre[i-1]; //maxpre记录上一行的最大值 for(int j=i;j<=n-m+i;j++) { dp[j]=max(dp[j-1],maxpre)+a[j];//对情况1、2的选择 if(maxpre<pre[j]) maxpre=pre[j]; pre[j]=dp[j];//别忘了这一步,顺便把这一行给pre } } ll maxx=0; for(int i=m;i<=n;i++)//找到第m行的最大值,即为答案 if(maxx<dp[i]) maxx=dp[i]; printf("%lld\n",maxx); } return 0; }
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