树状数组略解

今天比赛的时候好多树状数组的题，这里总结一下树状数组的用处。 
首先不得不说树状数组的思想简洁而又深刻，短短几行代码，诠释了什么叫“大道至简”，我想算法的魅力或许就在于此。

今天比赛的时候，看似简单的题总是超时，当时就敏锐的想到用树状数组解决，然而由于不太熟悉，自己又在本子上推了一遍，最后还是有几道题没来得及看，现在赶紧回来总结一下树状数组。（纯手打，不容易！）

先讲讲树状数组的用处，毕竟有了需求，才有学习的动力。 
对普通数组进行M次修改或求和，时间复杂度为O(M*N)，N为修改或求和需要扫描的区间大小。而对于树状数组，时间复杂度则为O(M*lgN)。加了一个lg，学过数学的我们应该都知道差距有多大。

在讲实现之前，我们需要先理解一个函数lowbit(x)，这是一个自定义的函数，函数名是约定成俗的，作用就是返回x的二进制表示中最后一位1的权值 
代码实现

int lowbit(int x)//位运算,利用计算机补码特性{    return x&-x;}
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写个长注释，假设x=10 
10的二进制：1010，我们知道，一个数前加符号，就是用这个数的二进制取反加一。 
-10的二进制：0101+1=0110 
然后位运算符&（按位与），1010&0110=10，十进制表示就是2 
所以lowbit(10)=2 
这个函数很重要，所以先在这里交代清楚原理。

下面上图，讲讲实现树状数组（图来自百度百科） 
 
图中有两个数组，数据都接收到底层数组a中，而数组c则是树状数组（看形状是不是很像个树）。 从图中可以直观的看到 
c[1]=a[1]; 
c[2]=a[1]+a[2]; 
c[3]=a[3]; 
c[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]; 
c[5]=a[5]; 
c[6]=a[5]+a[6]; 
c[7]=a[7]; 
c[8]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+a[6]+a[7]+a[8]; 
假设结点为n,那么结点n所管辖的区间为2的lowbit(n)次方 
即：c[n]=a[n-(2^lowbit(n))+1]+…..+a[n]; 
这样通过lowbit函数，把底层数组a和树状数组c联系了起来。

求数组a的前n位和 
代码

int sum(int n){      int sum=0;      while(n>0)      {          sum+=c[n];          n=n-lowbit(n);    }      return sum;  }
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假设n=8,lowbit(8)=8,while循环只持续了一次，得到的结果c[8]也与实际吻合 
（发现没有，求前8位和，实际上只循环运算了1次！） 
假设n=6,lowbit(6)=2，获取c[6]=a[5]+a[6]后，n=4;lowbit(4)=4;获取c[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4];最终获取的就是a[1]+..+a[6]； 
（求前6位和，实际只循环运算了2次！） 
还理解不了？那简单，把代码背下来，记住这个函数的返回值就是前n位和。

下面是修改，将数组a的第k位增加（或减少）num 
代码

void add(int k,int num)  {      while(k<=n)//n是树状数组的大小     {          c[k]+=num;        k=k+lowbit(k);//由于每次跳lowbit(k)位，所以时间复杂度大大降低,为什么跳lowbit(k)位操作,因为你求和的时候也是跳lowbit(k)位求和啊。     }  }  
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说了那么多，把我自己都讲糊涂了，本来我是直接套用函数简单粗暴，这样一写，我发现树状数组其实讲的就是二进制，