hdu--6069--Counting Divisors

Counting Divisors

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Problem Description

In mathematics, the function d(n) denotes the number of divisors of positive integer n.

For example, d(12)=6 because 1,2,3,4,6,12 are all 12's divisors.

In this problem, given l,r and k, your task is to calculate the following thing :

(∑i=lrd(ik))mod998244353

 

Input

The first line of the input contains an integer T(1≤T≤15), denoting the number of test cases.

In each test case, there are 3 integers l,r,k(1≤l≤r≤1012,r−l≤106,1≤k≤107).

 

Output

For each test case, print a single line containing an integer, denoting the answer.

 

Sample Input

31 5 11 10 21 100 3

 

Sample Output

10482302

 

Source

2017 Multi-University Training Contest - Team 4

题意：d(i)表示i的因子个数；给出l,r,k。求出(∑i=lrd(ik))mod998244353

解题思路：根据约数个数定理得出：n=p1^c1*p2^c2*.....*pn^cn;

可得：d(n)=(c1+1)*(c2+1)*.....*(cn+1);

进一步：d(n^k)=(c1*k+1)*(c2*k+1)*.....*(cn*k+1);

d(n)里的n取值范围为1--10^12;要判断n是不是素数，只需要打1--10^6的素数表。

如果n是素数，那么他的贡献为（k+1），如果n不是素数，就用表内的素数进行分解；

具体做法是遍历已经打印好的素数表prime[maxn],另外开一个数组a，存放l到r，对应的下标为0到r-l;

遍历prime[i]时，先找到a数组内第一个能整除prime[i]的元素a[j],并用prime[i]对它进行分解，直到除不尽。

此后，每次a的下标加prime[i]个，做到消除a内以prime[i]为因子的数。

最后只要 a[i]不等于1，则其一定剩下的是一个大于 10^6的素数了。

代码：

 C++ Code 

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int mod = 998244353;
const int maxn = 1000009;
bool Isprime[maxn];       ///素数表1
LL prime[maxn];           ///素数表2
LL a1[maxn], sum[maxn];
int cnt;
LL l, r, k;
void Prime()
{
    ///打印素数表，Isprime[ ]和prime[ ]；
    cnt = 0;
    memset(Isprime, true, sizeof(Isprime));
    Isprime[1] = false;
    for(int i = 2 ; i < maxn ; i++)
    {
        if(Isprime[i])
        {
            prime[cnt++] = i;
            for(int j = 2 ; i * j < maxn ; j++)
                Isprime[i * j] = false;
        }
    }
}

int main()
{
    Prime();
    int t;
    scanf("%d", &t);
    while(t--)
    {
        scanf("%lld%lld%lld", &l, &r, &k);
        for(int i = 0; i <= r - l; i++)
        {
            sum[i] = 1; ///sum是要做乘法的，初值为1
            a1[i] = i + l; ///对应存储l--r的值；
        }

        for(int i = 0; i < cnt; i++)
        {
            int x;
            if(l % prime[i] != 0)
                x = 1;
            else if(l % prime[i] == 0)
                x = 0;
            LL fir = (l / prime[i] + x) * prime[i]; ///fir是从l开始第一个能整除prime[i]的

            for(LL j = fir; j <= r; j += prime[i]) ///每个j都能整除prime[i]
            {
                LL res = 0;
                while(a1[j - l] % prime[i] == 0)
                {
                    res++;
                    a1[j - l] /= prime[i];
                }///一直除下去,让数变小，找到prime[i]的幂值
                sum[j - l] = (sum[j - l] * ((res * k + 1) % mod)) % mod; ///sum[j-l]乘一下，取模
            }
        }
        LL ans = 0;
        for(int i = 0; i <= r - l; i++)
        {
            if(a1[i] != 1)
            {
                sum[i] = (sum[i] * (k + 1)) % mod; ///经过一系列除法没除到1，说明1e6内的素数分解不了，那么它就是一个大素数
            }

            ans = (ans + sum[i]) % mod;
        }
        printf("%lld\n", ans);
    }

    return 0;
}