线性代数 -- 矩阵空间、秩1矩阵、小世界图

矩阵空间

介绍一种新的向量空间：矩阵空间。 在这之前我们遇到的都是n维的向量空间， 对于矩阵空间先了解以下几个问题：

Q：为什么矩阵也可以看成向量空间呢？

A：因为矩阵可以同向量一样进行各种运算， 比如：加法， 数乘、线性组合等等；

Q：矩阵空间与前面提到的实数向量空间有什么区别呢？

A：矩阵空间是n*n维的， 而实数向量空间是n维的， 相当于从以前的n维扩展到n*n维。

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下面我们以3*3具体谈谈矩阵空间， 记为矩阵M， 对于向量空间首先明白两点： 1， 它的一组基是什么？ 2， 它的维数是多少？ 这两个问题是相关的， 基本上只要知道一个问题 另外一个也知道了。 先看第二个问题(毕竟第二个问题的答案只是一个数字~0~)， 3*3矩阵的维数是：9， 前面已经提到了， 是n*n维空间的； 此时3*3矩阵空间与9维空间是一样的， 只不过这个数字形式是一个矩阵而不是一列。 M的子空间有哪些呢？ 所有的对称矩阵组成的空间（S）、 所有的上三角矩阵组成的空间（S）、所有的对角矩阵组成的空间（D）等等。 那它的一组基是什么呢？ 因为维数是 9， 所以它的一组基也应该为 9 个矩阵， 如下：。下面我们来看看它的几个子空间：

对称矩阵

对称矩阵的维数为：6。 它的一组基为：

上三角矩阵

上三角矩阵的维数为：6. 它的一组基为：

对角矩阵

对角矩阵是对称矩阵与上三角玉矩阵的交集， 它的维度为：3， 它的一组基为：

S+U

为什么要讨论S+U 而不是S与U的并集呢？ 因为S与U的并集的结果并不是一个矩阵空间（应该说是插在平面上的几条线）。 怎样构成一个S+U子空间？ 任取S内一元素加上U内任一元素组成的空间。 S+U组成的空间维数是：9。

结论

从上面的讨论中可以得出一个结论：如果两个子空间， 它们交的维度 + 它们和的维度 = 它们的维度和。

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再看一个微分方程的例子：d²y/dx² + y = 0, 容易解得它的一组特解解为：y=sinx, y=cosx, 它的通解为：y = c₁sinx+c₂cosx；可以将它的特解看成解空间的一组基向量， 解空间的维数是：2。 这个例子说明了向量并不局限于最基本的向量形式， 只要满足向量的特性， 都可以将他们看成向量。

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这个话题结束， 开始下一个（秩1空间）~0~

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秩1矩阵

Q：什么是秩1矩阵？

A：秩为1的矩阵

设A==, 行空间的一组基为[1,4,5], 维数为:1. 列空间的维数：1（因为后面两列是第一列的倍数）。对于任何的秩1矩阵都可以用 列X行 的形式来表示。 秩1矩阵的作用更像是一块积木， 它可以组成秩2秩3……矩阵， 比如：秩4矩阵就可以用4个秩1矩阵组成。 既然提到了秩4矩阵， 那么所有的秩4矩阵都可以构成一个子空间吗？ 如果可以这两个式子一定会成立：秩4矩阵 + 秩4矩阵 = 秩4矩阵。 n * 秩4矩阵 = 秩4矩阵。因为满足基本的加法和数乘运算。 可是真的满足吗？ 我们知道：一般来说， 两个矩阵之和的秩不大于两个矩阵秩之和。 显然， 第一个式子就不成立， 所以明显不一定能构成子空间。

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小世界图

想要知道什么是小世界图， 要先弄清楚下面这个问题：

Q：什么是图

A：节点和边的集合， 边接通各个节点。

Q：为什么叫小世界图呢？

A：大概是这个样子的， 根据”六度分离理论“, 人与人之间的距离不会超过六步， 你不禁感叹“这世界真小啊”

ps：关于图的问题请参见下一篇博客~0~