Linear Algebra - Lesson 11. 矩阵空间, 秩1矩阵和小世界图

Schedule

• Basis of new vector spaces
• Rank one matrices
• Small world : Graphs

Basis of new vector spaces - 新向量空间的基

上节课中提到了新的向量空间M代表的是所有3×3的矩阵, 同样也可以将所有的3×3对称矩阵(symmetric matrices)看做一个空间, 将所有的3×3上三角矩阵(upper triangular)看做一个空间.

在这些空间里依旧可以进行数乘和加法, 但是不能做矩阵乘法, 因为这对于空间来说没有意义, 并不能保证相乘后的结果仍然在空间中.

所有的3×3矩阵都有一组自然的基. 接下来需要对其进行求解,
Basis for M = All 3×3′s
维度是多少? 需要多少个向量才能决定一组基? 答案是9

⎡⎣⎢100000000⎤⎦⎥,⎡⎣⎢000100000⎤⎦⎥,⎡⎣⎢000000100⎤⎦⎥...⎡⎣⎢000000001⎤⎦⎥

对于由3×3对角线矩阵组成的子空间来说, 其维度是多少?
原来的基中有多少矩阵属于这个子空间?
维度是6,原来的基中有3个属于该子空间,分别是:

⎡⎣⎢100000000⎤⎦⎥,⎡⎣⎢000010000⎤⎦⎥,⎡⎣⎢000000001⎤⎦⎥

dim(M)=91dim(S)=61dim(U)=6

对于两个子空间的组合来说, 基又是怎样的?如下:
S⋂U = symmetric and upper triangular = diagonal
对于对称矩阵和上三角矩阵的交来说,满足该条件的矩阵被称为对角矩阵(diagonal matrix).
dim(S⋂U)=3
S⋃U = symmetric or upper triangular is not a space
因为这只是分属两个空间的向量的合并, 并不能表现出空间的性质.
所以这里我们用 S+U来表示分数两个空间的向量的组合表达的空间.
S+U = any elements of S + any elements of U = all 3×3′s
dim(S+U)=9

由上可知,

dim(S)=61dim(U)=61dim(S∩U)=31dim(S+U)=9→dim(S)+dim(U)=dim(S∩U)+dim(S+U)

介绍一种来自微分方程的 没有向量的”向量空间”

d2ydx2+y=0

对于该微分方程, y=cosx,sinx,eix,e−ix是不同的解,
因此可以将问题描述为求解一个微分方程的零空间,或者说是解空间.
该解空间中所有的解(complete solution)可以被描述为 : y=c1cosx+c2sinx.
这是一个向量空间,其一组基是(cosx,sinx),该空间的维度为dim(solution space)=2
tips: 高等数学 18.03 线性代数 18.06

Rank 1 matrices - 秩为1的矩阵

A=[1248510]=[12]∗[145]

dimC(A)=rank=dimC(AT)
所有秩为1的矩阵都可以表达为1列乘以1行的形式, 即A=UVT,UV均是列向量.

Every rank one matrix has the form some column times some r ow.

Example:
假设有一个5×17的矩阵,秩为4, 则可以分解为4个秩为1的矩阵

Subset of rank 4 matrices
用矩阵空间M表示所有的5×17矩阵, M= all 5×17matrices, 那么一个由秩4矩阵组成的子集能构成一个子空间么?
不是,因为不包含零矩阵.
加入零矩阵?
也不一定. 因为两个秩4矩阵相加,它们的和并不一定是秩4矩阵.
两个矩阵之和的秩不大于两个矩阵的秩之和.

The rank of A plus B can’t be more than rank of A plus the rank of B.

S = all v in R4 with v1+v2+v3+v4=0 = null-space of A→[1111]
这样就讲问题转化为求一个矩阵的零空间.
例子中的r(A)=1,而A为1×4的矩阵,即n=4,所以零空间的维度为n−r=3.
所以S的一组基为⎡⎣⎢⎢⎢−1100⎤⎦⎥⎥⎥,⎡⎣⎢⎢⎢−1010⎤⎦⎥⎥⎥,⎡⎣⎢⎢⎢−1001⎤⎦⎥⎥⎥

Graph - 图

Graph = {nodes, edges}
六度分离猜想 “number six degrees of separation”