HDU 6069 Counting Divisors （素数）

Description

In mathematics, the function d(n) denotes the number of divisors of positive integer n.

For example, d(12)=6 because 1,2,3,4,6,12 are all 12 ‘s divisors.

In this problem, given l,r and k, your task is to calculate the following thing :

>(∑i=lrd(ik)) mod 998244353>

 

Input

The first line of the input contains an integer T(1≤T≤15) , denoting the number of test cases.

In each test case, there are 3 integers l,r,k(1≤l≤r≤1012,r−l≤106,1≤k≤107) .

 

Output

For each test case, print a single line containing an integer, denoting the answer.

 

Sample Input

31 5 11 10 21 100 3

 

Sample Output

10482302

 

题意

给出 l,r,k ，求 [l,r] 中所有数的 k 次幂的约数个数之和，最终结果 mod 998244353 。

 

思路

SPOJ 中有两道类似的题目，其中一个 k = 2 ，另一个 k = 3 ，然后区间长度最大为 1012 ，用到了杜教筛与洲阁筛。

不过对于这道题来说，用不到那么高深的知识，因为区间长度只有 106 。

 

对于任意一个大于 1 的正整数 x ，其素因子至多只有一个处于 (x√,x] 这个区间内，其余全部小于等于 x√ 。

另外，通过素数定理我们可以知道，任意一个正整数 x 可以表示为 x=pc11×pc22×...×pcnn ，其中 pi 为互不相同的质数，此时 x 的所有因子个数为 (c1+1)×(c2+1)×...×(cn+1) 。

同理， xk 所有因子个数为 (c1×k+1)×(c2×k+1)×...×(cn×k+1) 。

 

于是我们考虑枚举 r√ 以内的所有质数 i ，并在区间 [l,r] 中对 i 的倍数计算其含有多少 i 这个质因子，统计结果。

随后考虑每个数在 r√ 以外的质因子，若有，则统计这部分。

累加该区间内所有数的统计结果即为最终答案。

 

AC 代码

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;typedef __int64 LL;const int maxn = 1e6+10;const int mod = 998244353;LL prime[maxn],tot;bool visit[maxn];LL l,r,k;LL num[maxn],sum[maxn];void getprime(){    tot=0;    memset(visit,0,sizeof(visit));    for(int i=2; i<maxn; i++)    {        if(!visit[i])        {            prime[tot++]=i;            for(int j=i+i; j<maxn; j+=i)                visit[j]=1;        }    }}void solve(){    for(int i=0; i<=r-l; i++)    {        sum[i]=1;        num[i]=i+l;    }    for(int i=0; prime[i]*prime[i]<=r; i++)        for(LL j=(l/prime[i]+(l%prime[i]?1:0))*prime[i]; j<=r; j+=prime[i])            if(j>=l)            {                LL res=0;                while(num[j-l]%prime[i]==0)                {                    num[j-l]/=prime[i];                    res++;                }                sum[j-l]=sum[j-l]*(res*k+1)%mod;            }    LL ans=0;    for(int i=0; i<=r-l; i++)    {        if(num[i]>1)            sum[i]=sum[i]*(k+1)%mod;        ans=(ans+sum[i])%mod;    }    cout<<ans<<endl;}int main(){    getprime();    int T;    while(cin>>T)    {        for(int i=0; i<T; i++)        {            cin>>l>>r>>k;            solve();        }    }    return 0;}