01背包问题收录.

首先01背包题目的雏形是

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

从这个题目中可以看出，01背包的特点就是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。

其状态转移方程是：

f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}

对于这方方程其实并不难理解，方程之中，现在需要放置的是第i件物品，这件物品的体积是c[i],价值是w[i],因此f[i-1][v]代表的就是不将这件物品放入背包，而f[i-1][v-c[i]]+w[i]则是代表将第i件放入背包之后的总价值，比较两者的价值，得出最大的价值存入现在的背包之中。

理解了这个方程后，将方程代入实际题目的应用之中，可得

for(i = 1; i<=n; i++)  {      for(j = v; j>=c[i]; j--)//在这里，背包放入物品后，容量不断的减少，直到再也放不进了      {          f[i][v]=max(f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]);      }  }  

理解了01背包之后，下面就来看看实际的题目

HDU2546：饭卡
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2546
很经典的一道01背包题，要注意的是这里只要剩余的钱不低于5元，就可以购买任何一件物品，所以5在这道题中是很特许的，再使用01背包之前，我们首先要在现在所拥有的余额中保留5元，用这五元去购买最贵的物品，而剩下的钱就是背包的总容量，可以随意使用，因此可得代码

#include <stdio.h>  #include <algorithm>  using namespace std;  int cmp(int a,int b)  {      return a<b;  }  int main()  {      int n;      while(~scanf("%d",&n),n)      {          int i,price[2013]= {0},dp[2013] = {0};          for(i = 1; i<=n; i++)              scanf("%d",&price[i]);          sort(price+1,price+1+n,cmp);          int MAX=price[n];          int j,m;          scanf("%d",&m);          if(m<5)//低于5元不能购买          {              printf("%d\n",m);              continue;          }          m-=5;//取出5元用于购买最贵的物品          for(i = 1; i<n; i++)//01背包          {              for(j = m;j>=price[i];j--)              {                  dp[j] = max(dp[j],dp[j-price[i]]+price[i]);              }          }          printf("%d\n",m+5-dp[m]-MAX);      }      return 0;  }  

HDU1171：Big Event in HDU

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1171

这道题咋看有点复杂，其实也只是换了一种思维，因为题目要求要尽量平均分配，所以我们可以先将总价值sum求出，然后得出其分配的平均值为sum/2,要注意这个答案可能为小数，但是又因为sum是整数，所以最后得出的sum/2是要小于等于实际的值。将这个结果进行01,背包，可以得出其中一个宿舍所得的最大价值，而另一个宿舍的最大价值也可以相应的得到，而前者必定小于等于后者。

#include <stdio.h>  #include <string.h>  #include <algorithm>  using namespace std;  int val[5005];  int dp[255555];  int main()  {      int n,i,j,a,b,l,sum;      while(~scanf("%d",&n),n>0)      {          memset(val,0,sizeof(val));          memset(dp,0,sizeof(dp));          l = 0;          sum = 0;          for(i = 0;i<n;i++)          {              scanf("%d%d",&a,&b);              while(b--)              {                  val[l++] = a;//将价值存入数组                  sum+=a;              }          }          for(i = 0;i<l;i++)          {              for(j = sum/2;j>=val[i];j--)//01背包              {                  dp[j] = max(dp[j],dp[j-val[i]]+val[i]);              }          }          printf("%d %d\n",sum-dp[sum/2],dp[sum/2]);      }      return 0;  }  

HDU2602：Bone Collector

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2602

经典的01背包题，给出了石头的数量与背包的容量，然后分别给出每个石头的容量与价值，要求最优解，经过前面的练手，这道题已经是很简单了，可以说是01背包果题。

#include <stdio.h>  #include <string.h>  #include <algorithm>  using namespace std;  struct Node  {      int h;      int v;  } node[1005];  int main()  {      int t,n,m,l;      int dp[1005];      scanf("%d",&t);      while(t--)      {          scanf("%d%d",&n,&m);          int i;          for(i = 1; i<=n; i++)              scanf("%d",&node[i].h);          for(i = 1; i<=n; i++)              scanf("%d",&node[i].v);          memset(dp,0,sizeof(dp));          for(i = 1; i<=n; i++)          {              for(l = m; l>=node[i].v; l--)                  dp[l] = max(dp[l],dp[l-node[i].v]+node[i].h);          }          printf("%d\n",dp[m]);      }      return 0;  }  

HDU2639：Bone Collector II(01背包第k优解)

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2639

解决了上面那倒题目之后，这道题跟上面的题目有些不同，因为这里要求的是第K优解

#include <stdio.h>  #include <string.h>  #include <algorithm>  using namespace std;  struct Node  {      int price;      int val;  } node[1005];  int main()  {      int t;      scanf("%d",&t);      while(t--)      {          int n,v,k,i,dp[1005][31] = {0},a[31],b[31];          scanf("%d%d%d",&n,&v,&k);          for(i = 0; i<n; i++)              scanf("%d",&node[i].price);          for(i = 0; i<n; i++)              scanf("%d",&node[i].val);          int j;          for(i = 0; i<n; i++)          {              for(j = v; j>=node[i].val; j--)              {                  int cnt = 0,d;                  for(d = 1; d<=k; d++)//分别将放入第i个石头与不放第i个石头的结果存入a,b,数组之中                  {                      a[d] = dp[j-node[i].val][d]+node[i].price;                      b[d] = dp[j][d];                  }                  int x,y,z;                  x = y = z = 1;                  a[d] = b[d] = -1;                  while(z<=k && (x<=k || y<=k))//循环找出前K个的最优解                  {                      if(a[x] > b[y])                      {                          dp[j][z] = a[x];                          x++;                      }                      else                      {                          dp[j][z] = b[y];                          y++;                      }                      if(dp[j][z]!=dp[j][z-1])                      z++;                  }              }          }          printf("%d\n",dp[v][k]);      }      return 0;  }  

HDU2955：Robberies

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2955

这道题有点特别，咋看之下其状态转移方程似乎有些不同，但事实上远离是相通的，要注意其精度

#include <stdio.h>  #include <algorithm>  using namespace std;  struct Bank  {      int money;      double p;  } bank[10005];  int main()  {      int n,t;      double p;      scanf("%d",&t);      while(t--)      {          scanf("%lf%d",&p,&n);          p = 1-p;          int i,j,sum = 0;          for(i = 0; i<n; i++)          {              scanf("%d%lf",&bank[i].money,&bank[i].p);              bank[i].p = 1-bank[i].p;              sum+=bank[i].money;          }          double dp[10005]= {1.0};          for(i = 0; i<n; i++)          {              for(j = sum; j>=bank[i].money; j--)              {                  dp[j] = max(dp[j],dp[j-bank[i].money]*bank[i].p);              }          }          for(i = sum; i>=0; i--)          {              if(dp[i]-p>0.000000001)              {                  printf("%d\n",i);                  break;              }          }      }      return 0;  }  

HDU3466：Proud Merchants

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3466

这道题由于规定了手上的前低于q时就不能购买该样东西，所以要先将商品按q-p排序，剩下的就是简单的01背包了

#include <stdio.h>  #include <string.h>  #include <algorithm>  using namespace std;  struct node  {      int p,q,v;  } a[555];  int cmp(node x,node y)//按q-p排序，保证差额最小为最优  {      return x.q-x.p<y.q-y.p;  }  int main()  {      int n,m,i,j;      int dp[5555];      while(~scanf("%d%d",&n,&m))      {          for(i = 0; i<n; i++)              scanf("%d%d%d",&a[i].p,&a[i].q,&a[i].v);          memset(dp,0,sizeof(dp));          sort(a,a+n,cmp);          for(i = 0; i<n; i++)          {              for(j = m; j>=a[i].q; j--)//剩余的钱大于q才能买              {                  dp[j] = max(dp[j],dp[j-a[i].p]+a[i].v);//这里的j-a[i].p决定了之前的排序方法              }          }          printf("%d\n",dp[m]);      }      return 0;  }  

HDU1864：最大报销额

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1864

题目中药注意的有几样，首先每张发票中单件物品价格不能超过600，其次发票总额不能超过1000，而且发票上的物品必须是ABC三类，将满足以上条件的发票存入数组之中，就是裸01背包

#include <stdio.h>  #include <algorithm>  #include <string.h>  using namespace std;  int dp[3000050];//由于每张发票不超过1000，最多30张，扩大100倍数后开这么大即可  int main()  {      char ch;      double x,y;      int sum,a,b,c,money[35],v;      int t,i,j,k;      while(~scanf("%lf%d",&x,&t),t)      {          sum = (int)(x*100);//将小数化作整数处理          memset(money,0,sizeof(money));          memset(dp,0,sizeof(dp));          int l = 0;          for(i = 0; i<t; i++)          {              scanf("%d",&k);              a = b = c = 0;              int flag = 1;              while(k--)              {                  scanf(" %c:%lf",&ch,&y);                  v = (int)(y*100);                  if(ch == 'A' && a+v<=60000)                      a+=v;                  else if(ch == 'B' && b+v<=60000)                      b+=v;                  else if(ch == 'C' && c+v<=60000)                      c+=v;                  else                      flag = 0;              }              if(a+b+c<=100000 && a<=60000 && b<=60000 && c<=60000 && flag)//按题意所说，必须满足这些条件                  money[l++] = a+b+c;          }          for(i = 0; i<=l; i++)          {              for(j = sum; j>=money[i]; j--)                      dp[j] = max(dp[j],dp[j-money[i]]+money[i]);          }          printf("%.2lf\n",dp[sum]/100.0);      }      return 0;  }  

SDUT3358
http://acm.sdut.edu.cn/onlinejudge2/index.php/Solution/submitsolution/pid/3358.html

高数Umaru系列（9）——哈士奇

Time Limit: 1000MS Memory Limit: 65536KB
Submit Statistic

Problem Description
由于高数巨养的喵星人太傲娇了，要天天吃新鲜猫粮而且还经常欺负高数巨，所以高数巨决定买几条哈士奇尝尝鲜。这天高数巨来到了二手狗市场买哈士奇，高数巨看完了所有的哈士奇，记下了每条哈士奇的价格，并根据对它们的好感程度给它们每只都赋予了一个萌值。高数现在手里有X元，她想通过购买若干条哈士奇来获得尽可能多的萌值。现在给定高数巨手里的钱X以及N条哈士奇的价格和萌值，求高数巨最多可获得多少萌值

Input
多组输入。
对于每组输入，第一行有两个整数N，X（1 < = N < = 100，1 < = X < = 1000），分别表示哈士奇的数量和高数巨的钱数
接下来的N行每行有两个整数Pi，Mi（1 < = Pi,Mi < = 100），分别表示第i条哈士奇的价格和萌值

Output
对于每组数据，输出一个整数，表示高数巨最多可以获得的萌值，每组输出占一行

Example Input
2 100
50 20
60 40
3 100
20 55
20 35
90 95
1 10
20 50

Example Output
40
95
0

Hint

Author
Shannon

---

01背包问题，是用来介绍动态规划算法最经典的例子，网上关于01背包问题的讲解也很多，我写这篇文章力争做到用最简单的方式，最少的公式把01背包问题讲解透彻。

01背包的状态转换方程 f[i,j] = Max{ f[i-1,j-Wi]+Pi( j >= Wi ), f[i-1,j] }
f[i,j]表示在前i件物品中选择若干件放在承受能力为j的背包中，可以取得的最大价值。
Pi表示第i件物品的价值。
决策：为了背包中物品总价值最大化，第 i件物品应该放入背包中吗 ？

对于这个状态转移方程来说，通俗易懂的暴力解释就是，现在有一个价格为2的物品，你手里有一个承受能力为8的背包，并且已经装满了，那么我怎么知道此摆在我面前的价格为2的物品能不能增加我的背包内的价值呢？
很简单，这个时候我们就应该找到，当前背包重量减去2时，也就是8-2 = 6时的最大价值，看看加上眼前物品是否比原来大，大就装上，不大就放弃。（可能现在不太理解，后面还会提到）

题目描述：

有编号分别为a,b,c,d,e的五只哈士奇，它们的价格分别是2,2,6,5,4，它们的价值分别是6,3,5,4,6，现在给你个承受能力为10的背包，如何让背包里装入的哈士奇具有最大的价值总和？

只要你能通过找规律手工填写出上面这张表就算基本理解了01背包的动态规划算法。
首先要明确这张表是至底向上，从左到右生成的。

为了叙述方便，用e2单元格表示e行2列的单元格，这个单元格的意义是用来表示只有物品e时，有个承受能力为2的背包，那么这个背包的最大价值是0，因为e物品的重量是4，背包装不了。
对于d2单元格，表示只有物品e，d时,承受能力为2的背包,所能装入的最大价值，仍然是0，因为物品e,d都不是这个背包能装的。
同理，c2=0，b2=3,a2=6。
对于承受能力为8的背包，a8=15,是怎么得出的呢？
根据01背包的状态转换方程，需要考察两个值，

一个是f[i-1,j],对于这个例子来说就是b8的值9，另一个是f[i-1,j-Wi]+Pi；

在这里，

f[i-1,j]表示我有一个承受能力为8的背包，当只有物品b,c,d,e四件可选时，这个背包能装入的最大价值

f[i-1,j-Wi]也就是指单元格b6,值为9，Pi指的是a物品的价值，即6

由于f[i-1,j-Wi]+Pi = 9 + 6 = 15 大于f[i-1,j] = 9，所以物品a应该放入承受能力为8的背包

这个时候我们再来回头看上面状态转移方程的暴力解释
f[i,j] = Max{ f[i-1,j-Wi]+Pi( j >= Wi ), f[i-1,j] }

对于这个状态转移方程来说，通俗易懂的暴力解释就是，现在有一个价格为2的物品，你手里有一个承受能力为8的背包，并且已经装满了，那么我怎么知道此摆在我面前的价格为2的物品能不能增加我的背包内的价值呢？
很简单，这个时候我们就应该找到，当前背包重量减去2时，也就是8-2 = 6时的最大价值，看看加上眼前物品是否比原来大，大就装上，不大就放弃

AC Code:

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;int main(){    int p, m;    int i, j, n, x;    while(cin>>n>>x)    {        int f[1001][1001] = {0};        for(i = 1; i <= n; i++)        {            cin>>p>>m;            for(j = 0; j <= x; j++)            {                f[i][j] = (i == 1? 0:f[i-1][j]);                if(j >= p)                {                    f[i][j] = max(f[i-1][j],f[i-1][j-p]+m);                }            }        }        cout<<f[n][x]<<endl;    }    return 0;}