【小结】树状数组的区间修改与区间查询

第一次听到树状数组是zsl来讲课QAQ 然后当时他给我们绕了很久 = = 嗯没懂…………结果后来发现这东西实际上是个简单又好用的玩意QAQ

不知道以后的题还会不会用了 因为感觉好像树状数组的题一般都比较简单orz。。

[ 1 ]  树状数组的本职是单点修改+区间查询 维护前缀和 每次修改向上传数据 然后查询区间的时候也是从下往上加值 函数很好写……

修改：

void update(int i, int x){    while(i <= N){         sum[i] += x;         i += lowbit(i);    }}

查询前缀和：

int Query(int i){    int temp = 0;    while(x > 0){         temp += sum[i];         i -= lowbit(i);    }    return temp;}

[ 2 ]  鉴于树状数组的空间复杂度和时间复杂度都比线段树小 而且代码也短 所以就有大神用强大的脑洞YY出了区间修改+单点查询的树状数组

 = =我的想法是保存原始数列a数组 然后引入delta数组（差分数组） 查询的时候求delta数组的前缀和 再加上原始的a数组就可以了 网上的资料似乎和我的方法不太一样但是……应该也差不多吧……按我的方法的话 代码和上面也差不多 把sum改成delta就行了

[ 3 ]  上面都不是重点……重点是树状数组的区间修改+区间查询 这个很好玩 其实也挺简单

首先依旧是引入delta数组 delta[i]表示区间 [i, n] 的共同增量 于是修改区间 [l, r] 时修改 delta[l] 和 delta[r + 1] 即可（就是差分的思路）

查询的时候是查询区间 [l, r] 的和 即sum[r] - sum[l - 1] 所以现在的问题是求sum[i]

sum[i] = a[1]+...+a[i] + delta[1]*i + delta[2]*(i - 1) + delta[3]*(i - 2)+...+delta[i]*1   // a[i]为原始数组       = sigma( a[x] ) + sigma( delta[x]  *  (i + 1 - x) )       = sigma( a[x] ) + (i + 1) * sigma( delta[x] ) - sigma( delta[x] * x )

其中 sigma( a[x] ) 是可以预处理出来的 于是只需要维护 delta[x] 与 delta[x] * x 的前缀和（作为两个树状数组就可以了）

为了试验这个方法我专门去找了之前写线段树挂了好久的例题 = = codevs1082 线段树练习3 

然后交树状数组的代码是 324ms 内存5M过了 线段树是1027ms 13M 如果去掉读入优化的话代码会更短。

/*作者:Airy题目:p1082 线段树练习 3*/#include <cstdio>#include <iostream>#define lowbit(i) (i & (-i))using namespace std;int readint(){int sign = 1, n = 0; char c = getchar();while(c < '0' || c > '9'){ if(c == '-') sign = -1; c = getchar(); }while(c >= '0' && c <= '9') { n = n*10 + c-'0'; c = getchar(); }return sign*n;}const int Nmax = 200100;int N, Q;long long delta[Nmax]; // delta的前缀和 long long deltai[Nmax]; // delta * i的前缀和 long long sum[Nmax]; // 原始前缀和long long Query(long long *array, int pos){long long temp = 0ll;while(pos > 0){temp += array[pos];pos -= lowbit(pos);}return temp;}void Update(long long *array, int pos, int x){while(pos <= N){array[pos] += x;pos += lowbit(pos);}}int main(){N = readint();for(int i = 1; i <= N; ++i){int x = readint();sum[i] = sum[i - 1] + x;}Q = readint();while(Q--){int sign = readint();if(sign == 1) // 修改：把[l, r]区间均加上x {int l = readint(), r = readint(), x = readint();Update(delta, l, x);Update(delta, r+1, -x);Update(deltai, l, x * l);Update(deltai, r+1, -x * (r+1));} else // 查询：[l, r]区间和 {int l = readint(), r = readint(); long long suml = sum[l - 1] + l * Query(delta, l - 1) - Query(deltai, l - 1);long long sumr = sum[r] + (r + 1) * Query(delta, r) - Query(deltai, r);printf("%lld\n", sumr - suml);}}return 0;}

大概就是这样了。