Leetcode挑战题——2 Keys Keyboard

2 Keys Keyboard

Initially on a notepad only one character 'A' is present. You can perform two operations on this notepad for each step:

1. Copy All: You can copy all the characters present on the notepad (partial copy is not allowed).
2. Paste: You can paste the characters which are copied last time.

Given a number n. You have to get exactly n 'A' on the notepad by performing the minimum number of steps permitted. Output the minimum number of steps to get n 'A'.

Example 1:

Input: 3Output: 3Explanation:Intitally, we have one character 'A'.In step 1, we use Copy All operation.In step 2, we use Paste operation to get 'AA'.In step 3, we use Paste operation to get 'AAA'.

Note:

1. The n will be in the range [1, 1000].

本题目大概意思是说：

2键键盘（我的理解就是复制和黏贴，哈哈……）

最初在记事本上只有一个字符“A”存在。每个步骤都可以在这个记事本上执行两个操作：

1.复制所有：你可以复制记事本上的所有字符（不允许部分拷贝）。

2.粘贴：你可以粘贴上次复制的字符。

给定一个数字N，你必须在记事本上执行n个A的最小步骤。输出得到n个A的最小步骤数。

例子:

输入：3

输出：3

分析：

起初，我们有一个字符“A”。

在步骤1中，我们使用复制操作。

在步骤2中，我们使用粘贴操作获得“AA”。

在步骤3中，我们使用粘贴操作获得AAA。

注：

n在区间[ 1, 1000 ]里。

我们现在来分析下题目，这个题目要我们求最小的步骤数，说明要得N个A可能有多种步骤数，比如6个A，可以5步或6步就可以得到了，但是

我们是要求最小的，所以得到的是5。

对于这类的算法题目，其实他们是有规律的，难点就是要找出他们的规律在是什么，找出他们的通项公式。

对于1个A，因为记事本本有就有一个A，所以最小步骤数为0，这是个特例；

对于除1以外的奇数，那就没有什么捷径更快地得出A，只能一次复制，N-1次黏贴了了，所以步骤数就是N了，这里需要的特别注意的是，这一类

可以开方的奇数，如9、25、625等等……，我们就需要先对他们分解因式，求出所有的质因数，如9=3*3；625=5*5*5*5,可以看出他们的质因数都

是一样的，所以他们的最小步骤数等于质因数*质因数个数。即625的最小步骤数为5*4=20,9的最小步骤数等于3*2=6；

接下来，说下偶数。

其中，对于2的N次幂的数，如1是2的0次幂、2是2的一次幂、4是2的2次幂、8是2的3次幂……他们的通项公式为2^m,所以当我们求N个A

时（也就是N等于0、1、2、4、8……），他们的最小步骤数为2*m。

剩余的偶数，也是该题最麻烦的地方，我们就要先列举一些这样的偶数，找规律，如下所示：

把他们都转换成2的m次幂（注意是2的最大次幂）乘以k的形式。

6=2^1*3 => 最小步骤数等于2*1+3=5（刚好等于我们刚出推论出来的5）

10=2^1*5 => 最小步骤数等于2*1+5=7（其实就等于5的步骤数再多两步，一步是在5的基础是进行复制，另外一步就是黏贴，现在就有10个A了）

12=2^2*3 => 最小步骤数等于2*2+3=7（原理同上）

14=2^1*7 => 最小步骤数等于2*1+7=9（原理同上）

18=2^1*9 => 最小步骤数等于2*1+9=11（原理同上）

等等……

通过上面的列举我们已经可以看出规律了，发现了他们的通项公式N=2^m+k,其中k为N的除1外的最小奇数因子，所以我们先求N的最小的奇数因子，

再对差取2的对数求出m，最后我们就可以求出最小步骤数了。

到现在为止，该题的题目已经被我们剖析得差不多了，拨开迷雾后，是不是觉得顿时豁然开朗，林暗花明又一村的感觉啊，哈哈……

好，直接上代码：

//运用函数嵌套，求出除了1外的最小奇数因子，先声明getMinOddFromAllFactorsNotOne，后声明getFactors，所以在getMinOddFromAllFactorsNotOne里面调用getFactors时，应写在getFactors声明的后面否则会报错，因为函数内部执行顺序是从上到下依次执行的,且此时的函数getFactors的作用域是局部的了。这里跟我们常规的写法不一样，平时顺序怎么写都可以,因为php是解释型语言，运行时，变量和函数都是先加载到内存。且函数的作用域是全局的，只要定义了，那么就可以在任意位置去调用它。        //求一个正整数的质因数    function getPrimeFactors($n) {        if($n < 0 || gettype($n) != 'integer') return 'Parameter Error!';        $result = array();        for ($i = 2; $i <= $n; $i++) {//从最小的质数2开始循环            while ($n <> $i) {                if ($n % $i == 0) {//如果$n<>$i，但n能被i整除，则把i放入数组                    $result[] = $i;                    $n /= $i;//用$n除以$i的商,作为新的正整数$n，重复执行                } else {//$n不能被$i整除，直接跳过，则用$i+1作为$i的值,                    break;                }            }        }        $result[] = $n;//如果这个质数恰等于$n，则说明分解质因数的过程已经结束，记得把最后一次的$n收集到数组里        return $result;    }    // 除了能取以2为底的对数外的其他偶数情况，获得最小步骤数      function getMinNumberOfStepsForPartialEven($num){          //运用递归，利用引用做参数，求出因子；将array的引用传入函数，会将每一次递归产生的a添加到结果数组array里。          function getFactors($num,&$array = array()){              if($num % 2 == 0){                  $quotient = $num/2;                  $array[] = $quotient;                  getFactors($quotient,$array);              }              return $array;                  }          $return_array = getFactors($num);//获得因子          $getMinOddFromAllFactorsNotOne = array_pop($return_array);//获得数组的最后一个元素，得到最小的非1奇数因子，即所求的最小因子          $value = $num/$getMinOddFromAllFactorsNotOne;//把传进来的数除以求出的因子          $exponent = log($value,2);//求以2为底$value的对数          return $exponent*2 + $getMinOddFromAllFactorsNotOne;      }        // 封装各种情况，获得每种情况的最小步骤数      function getMinNumberOfSteps($number){          $range = range(1,1000);          if(!in_array($number, $range,true)) return 'Parameter error!';// 只允许[1,1000]之间的整数          $log = log($number,2);          if($number % 2 != 0 && $number != 1){//除了1外的奇数              if(count(array_unique(getPrimeFactors($number)) == 1)){//表示该奇数可以求开方根,以为可以求开方根的数的质因数是一样的，对结果去重下，就只剩下一个数了                return array_sum(getPrimeFactors($number));            }else{                return $number;             }        }elseif(intval($log) == $log){// 可以取以2为底的对数时，注意：1也是满足这种情况的。              return $log*2;          }else{// 其他的偶数情况              return getMinNumberOfStepsForPartialEven($number);          }      }      echo getMinNumberOfSteps(18);  

结果:

经过多次测试，均符合题意，得出正确的答案。如有不正确之处，希望各位批评指正，谢谢！