SAP算法总结

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例题可以见USACO4.2.1——草地排水，各大OJ上都有。

ISAP算法，一种最大流的优秀算法。

概念1：增广路，不解释

概念2：当前弧
对于一个点，必然存在当前要处理的弧，一开始，最早的当前弧是它的第一条弧，然后如果下一次他要到下一条边处理，它的当前弧变成下一条边。

具体实现：

·一开始，先跑一发BFS，得到每一个点到汇点的最短距离，这里用最短距离为n+1表示与汇点不联通。

·在满足源点到汇点联通的情况下（dist[s] != n+1)，每一个节点从那个节点的当前弧开始跑增广路，跑增广路的时候，保存其当前弧，以及整条增广路的路劲。

·如果到了节点t，那么从节点t开始，一直到s（也就是遍历整条增广路）得到可以增广的量最少的，同时记录这条边的开始那个节点），记为Min_flow和break_point。

·对整条增广路上的所有路劲减去Min_flow，并同时从break_point开始继续增广。

·如果当前节点找不到一个后继节点使得dist[u] +1 = dist[nxt]，那么让dist[u]变成它后继节点的dist的最小值+1，如果没有，或者后继节点都到不了t，那么变为n+1。同时，原先那个层次的点的个数-1，当前这个层次的点的个数+1。这个点的当前弧从第一条弧重新开始（如果原先那个层次没有点，说明有断层，直接return即可）

·一直找，直到出现断层。

 

 

 

#include<bits/stdc++.h> using namespace std;#define maxv 205#define maxe 205struct Edge{int from,to,cap,flow,nxt;//表示从from到to有一条容量为cap，当前流量为flow的边（数组模拟链表的下一个是nxt） }edge[maxe * 2];//总共有maxe条边，还有maxe条反向边 int nume,first[maxv];//边的数量和某个点开始最早的边 int dist[maxv];//当前点到汇点的dist int n,m,path[maxv],cur[maxv];//节点个数，边的个数，增广路以及当前弧 void init(){nume = 0;memset(first,-1,sizeof(first));}//预处理 void add_edge(int a,int b,int c){edge[nume] . from = a;edge[nume] . to   = b;edge[nume] . cap  = c;edge[nume] . flow = 0;edge[nume] . nxt  = first[a];first[a] = nume++;//正边 edge[nume] . from = b;edge[nume] . to   = a;edge[nume] . cap  = 0;edge[nume] . flow = 0;edge[nume] . nxt  = first[b];first[b] = nume++;//反向边 }void bfs(int t){int front,rear,u,v;int q[maxv];memset(dist,0,sizeof(dist));front = rear = 0;dist[t] = 0;q[rear++] = t;while (front < rear){u = q[front++];for (int e=first[u];e!=-1;e=edge[e].nxt){v = edge[e] . to;if ((e & 1) && (dist[v] == -1)){q[rear++] = v; dist[v] = dist[u] + 1;}/*如果这条边是反向边，得到dist*/ }}}//BFS，得到每个点到汇点的最短距离 const int oo = 1<<20;int ISAP(int s,int t){int u,v,break_point;int num[maxv];for (int i=1;i<=n;i++) cur[i] = first[i];int Ans = 0;bfs(t);//反向BFS，可以不要。 memset(num,0,sizeof(num)); for (int i=1;i<=n;i++) num[dist[i]] ++;//预处理得到每个层次的数量u = s;//从源点开始 while (dist[s] < n){if (u == t){//找到一条增广路 v = u;int Min_flow = oo; while (v!=s){int e = path[v];if (edge[e].cap - edge[e].flow < Min_flow){Min_flow = edge[e].cap - edge[e].flow;break_point = edge[e] . from;}v = edge[e] . from;}//遍历整个增广路，找到Min_flow和break_point Ans = Ans + Min_flow;//增加答案 v = u; while (v!=s){edge[path[v]] . flow += Min_flow;edge[path[v] ^ 1] . flow -= Min_flow;v = edge[path[v]] . from; }//改变整条增广路上的flow。 u = break_point;//回到端点 }//end of (u = t) else{bool found = false;for (int e = cur[u];e!=-1;e=edge[e].nxt){v = edge[e].to;if ((dist[v] == dist[u] - 1) && (edge[e].cap > edge[e].flow)){//找到一条可以走的路（满足是下一个，并且容量大于流量） path[v] = e;cur[u] = e;u = v;found = true;break;}}if (!found){//Retreatint tmp = n+1; for (int e=first[u];e!=-1;e=edge[e].nxt)if (edge[e].cap > edge[e].flow){v = edge[e].to; tmp = min(tmp,dist[v] + 1);}//得到其子节点的所有dist中最小的+1 num[dist[u]]--;//原来层次的点数-1 if ((num[dist[u]]) == 0) return Ans;//断点优化，也叫做GAP优化 dist[u] = tmp;//更新层次 num[tmp] = num[tmp] + 1;//新的层次的点数增加 cur[u] = first[u];//当前弧从头开始 if (u != s) u = edge[path[u]].from;//前面的点也要改过 }}}return Ans;//返回结果 }int main(){init();scanf("%d%d",&m,&n);for (int i=1;i<=m;i++){int a,b,c;scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);add_edge(a,b,c);}printf("%d\n",ISAP(1,n));}