【HNOI2015】菜肴制作 ：思想 + 拓扑排序

题意：求一个拓扑序列，保证以1~n的优先级，每个数尽量排在前面

分析：

显然求字典序最小的拓扑序有问题，字典序列由每个位置的数字决定，可是这里有一个1~n的优先级，就是说尽量要保证1在前，以此类推。

如果说一个元素，图中不存在“与它深度相同”的元素的话，那么它在拓扑序列中的位置一定是固定的，那么我们考虑两个深度相同的元素a,b(编号a<b)。显然，某一个位置需要用a或者b来填上，在本题的题意中，a肯定要在b之前（即填a），同时由于这两者深度相同，后面的某一个位置就填b了，这样的操作造成了什么影响呢？

前面的一句话：字典序列由每个位置的数字决定，这样导致了逆向序列的字典序变大了。

所以算法已经浮出水面：反向建边，求字典序最大的拓扑序列，再反向输出即可。

实现起来并不难，思路复杂，马后炮一波…

另外的证明：

反着拓扑排序时，如果有一次没有选择最大的那一个，则设当时最大的是A，选的是a，(A>a)。则假设最终序列为(S1)A(S2)a(S3)，那么显然可以把A放到a后面，变成(S1)(S2)aA(S3)，使得答案更优。

#include<map>#include<queue>#include<vector>#include<cstring>#include<iostream>#include<algorithm>using namespace std;const int Lim = 100005;int n , m , du[Lim] , ans[Lim];vector<int> edge[Lim];map<int , map<int , bool> > Mp;void Addedge(int a , int b){if(Mp.count(a) && Mp[a].count(b)) return;Mp[a][b] = 1;edge[a].push_back(b); du[b]++;/*注意顺序*/}void TopoSort(){priority_queue<int> Q;for(int i=1;i<=n;i++) if(!du[i]) Q.push(i);while(!Q.empty()){int x = Q.top();ans[++ans[0]] = x;Q.pop();for(int i=0;i<(int) edge[x].size();i++){int y = edge[x][i];if(--du[y] == 0) Q.push(y);}}if(ans[0] != n) puts("Impossible!");else{for(int i=n;i;i--) printf("%d ",ans[i]);printf("\n");}}void Clear(){for(int i=1;i<=n;i++) edge[i].clear();for(int i=1;i<=n;i++) Mp[i].clear();memset(ans , 0 , sizeof ans);memset(du , 0 , sizeof du);}int main(){int T; scanf("%d",&T);while(T--){scanf("%d %d",&n,&m);Clear();for(int i=1,x,y;i<=m;i++){scanf("%d %d",&x,&y);Addedge(y , x);}TopoSort();}return 0;}