多重背包问题

多重背包问题

输入

第1行，2个整数，N和W中间用空格隔开。N为物品的种类，W为背包的容量。(1 <= N <= 100，1 <= W <= 50000)第2 - N + 1行，每行3个整数，Wi，Pi和Ci分别是物品体积、价值和数量。(1 <= Wi, Pi <= 10000， 1 <= Ci <= 200)

输出

输出可以容纳的最大价值。

输入示例

3 62 2 53 3 81 4 1

输出示例

9

分析（转摘）：

      

     有没有办法变成更好的0-1背包问题。 比如我们把第i种物品看成单个的，一个一个的，我们想想二进制，任何一个数都可以由二的幂表示。

试试看，比如Ci  = 14，我们可以把它化成如下4个物品：

重量是Wi，体积是Vi
重量是2 * Wi , 体积是2 * Vi
重量是4 * Wi , 体积是4 * Vi
重量是7 * Wi , 体积是7 * Vi

注意最后我们最后我们不能取，重量是8 * Wi , 体积是8 * Vi 因为那样总的个数是1 ＋ 2 ＋ 4 ＋ 8 ＝ 15个了，不能多取   对吧？

我们用这4个物品代替原来的14个物品，原来物品无论取多少个，重量和体积都可以靠我们这几个物品凑出来，这说明我们这种分配方式和原来是等价的。

我们转化为一般方法，对于Ci ,我们的拆分方法是：

1，2，4，8…… 同时Ci减去这些值，如果Ci不够减了，则把最后剩余的算上，同时我们体积也对应乘以这些系数。这样Ci个同一种物品，被我们变成了logCi个物品了。于是按照0-1背包的做法，时间复杂变为O(W * sigma(logCi))了，降了很多。

代码：

  

  

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>#include <algorithm>using namespace std;const int MAX=5e4+10;int dp[MAX];int weight[1110];int value[1110];int main(){         int n , W;      int we,va,num,ans = 0;      scanf("%d %d",&n , &W);      memset(dp , 0 ,sizeof(dp));      for(int i = 1; i <= n; i++)        {            scanf("%d %d %d",&we , &va , &num);             for(int j = 1; j <= num; j = j*2)//分割成 1,2,4,8...，这样就可以用0-1背包              {                  weight[ans] = j*we;                  value[ans++] = j*va;                  num -= j; } if(num > 0) {   weight[ans] = num * we;   value[ans++] = num * va;  }}for(int i = 0; i < ans; i++)//0-1背包模板   for(int j = W; j >= weight[i] ; j--)                {                 dp[j] = max(dp[j] , dp[j - weight[i]] + value[i]);}printf("%d\n",dp[W]);return 0; }