扩欧理解ex_gcd

   ex_gcd

一直以来都不是很懂扩欧是啥，只知道怎么用，现在来小小的写一波理解吧，毕竟完全靠记模板也是不行的。

首先扩欧是用来解决   ax+by=c  这种问题的。

然后   有这么一个定理   ax+by=gcd(a,b)   一定有解。

由欧几里得定理我们知道  gcd(a,b)=gcd(b，a%b)——>bx+(a%b)y=ax+by

下面就涉及到取模的本质了。

from  Baidu

稍微想想就知道了。

带入：

bx1+(a-a/b*b)y1=ax+by

—>bx1+ay1-(a/b)*by1=ax+by

—>ay1+b(x1-(a/b)*by1)=ax+by

我们发现   x=y1;   y=(x1-(a/b)*y1）

这样我们就得到了一组解。那么ex_gcd  的c++模板就出来了。

int  ex_gcd(int a,int b,int &x,int &y){    if(b==0)    {        x=1;        y=0;        return a;    }    int d=ex_gcd(b,a%b,y,x);    y-=(a/b)*x;    return d;    }void ex_gcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y){    if(b==0)    {        x=1;        y=0;        d=a;    }    else    {        ex_gcd(b,a%b,d,y,x);        y-=(a/b)*x;    }}

两种大概差不多吧，就有时候选择用会方便一点。

对于ax+by=c  ；我们求出了ax+by=gcd(a,b)

那么原式的解就是：

x=x'*(c/gcd(a,b))   y=y'*(c/gcd(a,b))

我们可以看出，当  c%gcd(a,b)!=0  时，没有整数解。

这时候我们得出一组特解，那么我们如何找到通解呢：

其实这就相当于你在特解的基础上加上或减去某个数，和不变，我们需要找到最小的情况，即范围最大的情况.

那么就有：

x=x1-b/gcd(a,b)  *T   (T为未知数）

y=y1-a/(gcd(a,b) *T   

这时我们就求出x，y 的通解了。