《大话数据结构》学习笔记--chapter 6

Chap 6 树

6.2 树的定义

树(Tree)是n(n>=0)个结点的有限集。n=0时称为空树。在任意一棵非空树中：

l  有且仅有一个特定的称为根(Root)的结点；

l  当n>1时，其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集T₁.T₂…T_m,其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树(Sub Tree).

l  n>0时，根节点是唯一的；

l  m>0时，子树的个数没有限制，但他们一定是互不相交的；

6.2.1 结点分类

结点拥有的子树称为结点的度(Degree)，度为0的结点称为叶节点(Leaf)或终端节点，不为0的结点称为非终端节点或分支结点。除了根节点之外，分支结点也称为内部结点。树的度是树内各结点的度的最大值；

6.2.2 结点间关系

结点的子树称为该结点的孩子(Child)，相应的该结点称为孩子的双亲(Parent)。同一个双亲的孩子之间互称兄弟(Sibling)。结点的祖先是从根到该结点所经分支上的所有结点，以某一结点为根的子树中的任一结点都称为该结点的子孙；

6.2.3 树的其他相关概念

节点的层次(Level)从根开始定义起，根为第一层，根的孩子为第二层。双亲在同一层的结点互称为堂兄弟。树中结点的最大层次称为树的深度(Depth)或高度；

如果树中结点的各子树看成从左至右是有次序的，不能互换的，则乘该树为有序树，否则称为无序树；

森林(Forest)是m(m>=0)棵互不相交的树的集合；

 

6.3 树的抽象数据类型

InitTree(*T):构造空树；

DestroyTree(*T):销毁树；

ClearTree(*T):若存在则清空；

。。。。。。。。

 

6.4 树的存储结构

6.4.1 双亲表示法

在每个结点中，附设一个指示器指示其双亲结点在数组中的位置；

[data][parent]

data 数据域，parent 指针域，用来存储双亲在数组中的下标，根结点的指针域为-1；

还可以增加一个域用来存储第一个孩子(firstChild)或兄弟(rightSibling),没有则为-1；

[data][parent] [firstChild]

[data][parent] [rightSibling]

 

6.4.2 孩子表示法

每个结点有多个指针域，其中每个指针域指向一棵子树的根结点，这种方法叫做多重链表表示法；

l  方案一：指针域的个数等于树的度，但对于树中各结点的度相差很大时，浪费空间，因为有很多结点的指针域是空的；date数据域/child1-childd指针域

[data] [child1] [child2] [child3] [……] [childd]

 

l  方案二(即孩子表示法)：每个结点指针域的个数等于该结点的度，专门取一个位置来存储结点指针域的个数；即date数据域/degree度域/child1-childd指针域；

[data][degree] [child1] [child2] [……] [childd]

 

²  把每个结点的孩子结点排列起来，以单链表作存储结构，则n个结点有n个孩子链表，如果是叶子结点则此单链表为空，然后n个头指针又组成一个线性表，采用顺序存储结构，存放进一个一位数组中；包含两种结点结构：

Ø  表头数组的表头结构(指向的是自己的孩子)：data数据域，存储某结点的数据信息；firstchild头指针域，存储该结点的孩子链表的头指针；

[data] [firstChild]

Ø  孩子链表的孩子结点(指向的是自己的兄弟)：child数据域，存储某个结点在表头数组中的下标；next指针域，存储指向某结点的下一个孩子结点的指针；

[child] [next]

**双亲孩子表示法：在表头结构中添加一个parent数据域，值为该结点的双亲；

6.4.3 孩子兄弟表示法

任意一棵树，它的结点的第一个孩子如果存在就是唯一的，它的右兄弟如果存在也是唯一的，因此设置两个指针，分别指向该结点的第一个孩子和此结点的右兄弟；

[data][firstChild] [rightSibling]

data数据域；firstchild指针域，存储第一个孩子的存储地址；rightsibling指针域，存储该结点的右兄弟结点的存储地址；(可以增加一个parent指针域来查找双亲)(此方法把一棵复杂的树变成了一棵二叉树)

 

6.5 二叉树的定义

二叉树(Binary Tree)是n(n>=0)个结点的有限集合，该集合或者为空集(空二叉树)，或者由一个根节点和两棵互不相交的、分别称为根节点的左子树和右子树的二叉树组成；

6.5.1 二叉树的特点

l  每个结点最多有两棵子树，不存在度大于2的结点；

l  左子树和右子树是有顺序的，次序不能颠倒；

l  某个结点只有一棵子树，也要区分左子树和右子树；

l  二叉树的五种形态：

n  空二叉树；

n  只有一个根结点；

n  根结点只有左子树；

n  根结点只有右子树；

n  根结点左右子树都有；

6.5.2 特殊二叉树

l  斜树：左斜树(只有左子树)，右斜树(只有右子树)；

l  满二叉树：所有的结点都有左右子树，所有叶子结点都在同一层；

l  完全二叉树：对于一棵具有n个结点的二叉树按层序编号，编号为i(1<=i<=n)的结点与同样深度的满二叉树中编号为i 的结点在二叉树中位置完全相同；(完全二叉树不一定是满的)；

l  二叉树的特点：

n  叶子结点只能出现在最下两层；

n  最下层的叶子结点一定集中在左部连续位置；

n  倒数二层，若有叶子结点，一定都在右侧连续位置；

n  如果结点度为1，则该结点只有左孩子；(此种情况应是最后一个结点吧？)

n  同样点数的二叉树，完全二叉树的深度最小；

 

6.6 二叉树的性质

l  在二叉树的第i层上至多有2^i-1个结点；

l  深度为k的二叉树至多有2^k-1个结点(k>=1);

l  对于任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为n₀，度为2的结点数为n₂，则n₀=n₂+1；设n₁为度是1的结点数，那么T的结点总数n=n₀+n₁+n₂；

l  具有n个结点的完全二叉树的深度为[log₂n]+1；([x]表示不大于x的最大整数)

l  对一棵有n个结点的完全二叉树的结点按层次编号，对于任一结点(1<=i<=n)有：

n  如果i=1；则结点i是二叉树的根；如果i>1，则其双亲是结点[i/2]；

n  如果2i>n，则结点i无左孩子(为叶子结点)，否则其左孩子是结点2i；

n  如果2i+1>n，则结点i无右孩子，否则其右孩子是结点2i+1；

 

6.7 二叉树的存储结构

6.7.1 二叉树的顺序存储结构(适用性不强)

用一维数组存储二叉树中的结点，结点的存储位置(数组的下标)要能体现结点间的逻辑关系；

l  完全二叉树：结点按照层序顺序依次存入到数组中；数组下标对应结点层序顺序的编号；

l  一般二叉树：不存在的结点设置为^，但会造成空间的浪费，所以顺序存储结构一般只用于完全二叉树；

6.7.2 二叉链表

二叉树每个结点最多有两个孩子，所以为他设计一个数据域和两个指针域；

[leftChild][data] [rightChild]

还可以增加一个指向其双亲的指针域，称之为三叉链表；

 

6.8 遍历二叉树(traversing binary tree)

6.8.1 二叉树遍历原理

是指从根结点出发，按照某种次序一次访问二叉树中的所有结点，使得每个结点被访问一次且仅被访问一次；

6.8.2 二叉树遍历方法(若树为空，则空操作返回)

l  前序遍历：从根结点开始，先左子树后右子树；

l  中序遍历：从最左边的叶子或结点开始，先遍历根每个结点的左子树，然后访问根结点，最后遍历右子树，到最右边的叶子或结点终止；

l  后序遍历：从左到右，每棵子树都先叶后结；最后一个访问根结点；

l  层序遍历：从上到下，从左到右按照层序依次遍历；

6.8.3前序遍历算法(根结点在前)

利用递归，先打印结点数据，然后依次递归调用自身函数遍历左子树，右子树；

6.8.4 中序遍历算法(根结点在中)

和前序遍历只是顺序上的不同；

先递归调用自身函数遍历左子树，然后打印结点数据，再遍历右子树；

6.8.5 后序遍历算法(根节点在后)

顺序不同，先递归调用自身函数遍历左子树，再遍历右子树，然后打印结点数据；

6.8.6 推导遍历结果

二叉树遍历性质：

已知前序、中序或后序、中序，可以得到唯一确定的一棵二叉树，但已知前序和后序不可以；

6.9二叉树的建立

和遍历二叉树一样，也是利用递归的原理，只不过是把遍历时打印结点的地方改成生成结点；

6.10线索二叉树

6.10.1 线索二叉树原理

一方面：对于一个有n个结点的二叉链表，一共有2n个指针域，n-1条分支线数，也就是说，存在2n-(n-1)=n+1个空指针域，浪费内存资源；

另一方面：在二叉链表中，如果不遍历的话，不能知道某个节点的前驱和后继是谁，只知道每个结点的左右孩子的地址；

所以，可以考虑利用这些空地址，存放指向结点子某种遍历次序下的前驱和后继结点的地址；

把这种指向前驱和后继的指针称为线索，加上线索的二叉链表称为线索链表，相应的二叉树就称为线索二叉树(Threaded Binary Tree)；

         把空指针域中的rightChild指向它的后继结点，leftChild指向它的前驱结点；这样就相当于把一棵二叉树转变成了一个双向链表；

         把对二叉树以某种次序遍历使其变为线索二叉树的过程称作线索化；

         如何区分rightChild/leftChild指向的是左右孩子还是前驱/后继？在每个结点增设两个标志域leftTag/rightTag(boolean型，取值为0(指向孩子)或1(指向前驱/后继))；

[leftChild][leftTag] [data] [rightTag] [rightChild]

6.10.2线索二叉树结构实现

实质就是将二叉链表中的空指针改为指向前驱或后继的线索，由于前驱和后继的信息只有在遍历该二叉树时才能得到，所以线索化的过程就是在遍历的过程中修改空指针的过程；

和双向链表结构一样，在二叉树线索链表上添加一个头结点，令其leftChild域的指针指向二叉树的根结点，其rightChild域的指针指向中序遍历时访问的最后一个结点；反之，令二叉树的中序序列中的第一个结点中的leftChild指针域和最后一个结点的rightChild指针域均指向头结点；这样的好处就是：即可以从第一个结点顺着后续进行遍历，也可以从最后一个结点起顺着前驱进行遍历；

6.11树、森林与二叉树的转换

6.11.1 树转换为二叉树

l  加线：在所有兄弟结点之间加一条线；

l  去线：对树中每个结点，只保留它与第一个孩子结点的连线；

l  层次调整：以树的根结点为轴心，将整棵树顺时针旋转一定的角度，使层次分明(注意：第一个孩子是二叉树结点的左孩子，其兄弟转换过来作为它的右孩子)；

6.11.2 森林转换为二叉树

l  把每棵树转换为二叉树；

l  第一棵二叉树不动，从第二棵二叉树开始，后一棵二叉树的根结点作为前一棵二叉树的根结点的右孩子；

6.11.3 二叉树转换为树

是树转换为二叉树的逆过程；

l  加线：某结点的左孩子的n个右孩子结点都作为此结点的孩子；

l  去线：删除原二叉树中所有结点与其右孩子结点的连线；

l  层次调整；

6.11.4 二叉树转换为森林

先判断二叉树能否转换成森林：即看这棵二叉树的根结点有没有右孩子；

l  从根结点开始，若右孩子存在，则把与右孩子结点的连线删除，再查看分离后的二叉树，若右孩子存在，连线删除，以此类推；

l  再将分离后的二叉树转换为树；

6.11.5 树与森林的遍历

l  树的遍历：

n  第一种-先根遍历：即先访问树的根结点，然后依次先根遍历每棵子树；

n  第二种-后跟遍历：即先依次后根遍历每棵子树，在访问根结点；

l  森林的遍历：

n  第一种-前序遍历：先访问森林中第一棵树的根结点，然后再依次先根遍历根的每棵子树，再依次用同样的方式遍历剩余的树；

n  第二种-后序遍历：先访问森林中第一棵树，以后根遍历的方式遍历每棵子树，然后访问根结点，再依次用同样的方式遍历剩余的树；

6.12 赫夫曼树及其应用

6.12.1 赫夫曼树

做数据分层级统计的时候，令根结点做概率最大的数据判断，减少判断次数；

6.12.2 赫夫曼树的定义与原理

中树中一个结点到另一个结点之间的分支构成两个结点之间的路径，路径上的分支数目称为路径长度；

         树的路径长度就是从树根到每一结点的路径长度之和；

         树的带权路径长度为树中所有叶子结点的带权路径长度之和(叶子结点带权W_k，每个叶子路径长度为L_k)；

         其中带全路径长度WPL最小的二叉树为赫夫曼树；

         如何构造赫夫曼树：把最小权值树两棵树作为左右子树构造一棵新的二叉树，所得新树的根结点的权值为左右子树的权值之和；以此类推；

6.12.3 赫夫曼编码

利用赫夫曼树原理，左分支代表0，右分之代表1；从根结点到叶子结点所经过的路径分支组成的0和1的序列便为该结点对应字符的编码，即赫夫曼编码；

虽然长短不一，但保证了任一字符的编码都不是另一个字符编码的前缀；