动态规划专题讲义之最大连续子序列之和

专题三：最大连续子序列之和/*   Name:  动态规划专题之最大连续子序列之和   Author:  巧若拙   Description:  最大连续子序列之和 给定K个整数的序列{ N1,N2, ..., NK }，其任意连续子序列可表示为{Ni, Ni+1, ..., Nj }， 其中 1 <= i <= j <= K。最大连续子序列是所有连续子序列中元素和最大的一个， 例如给定序列{ -2, 11, -4, 13, -5, -2 }，其最大连续子序列为{ 11, -4, 13 }，最大和为20。  输入：测试输入包含若干测试用例，每个测试用例占2行，第1行给出正整数K( < 10000 )，第2行给出K个整数，中间用空格分隔。当K为0时，输入结束，该用例不被处理。输出：对每个测试用例，在1行里输出最大和。若所有K个元素都是负数，则定义其最大和为0。输入示例：6-2 11 -4 13 -5-210-10 1 2 3 4 -5-23 3 7 -2165 -8 3 2 5 01103-1 -5 -23-1 0 -20输出示例：2010101000*/  #include<iostream>  #include<string>    using namespace std;  const int MAX = 10000;    int MaxSubsequenceSum_1(const int A[], int n);//低效算法1     int MaxSubsequenceSum_2(const int A[], int n);//低效算法2int MaxSubsequenceSum_3(const int A[], int n);//分治算法 int MaxSubSum(const int A[], int left, int right);//分治算法子程序  int MaxSubsequenceSum_4(const int A[], int n);//使用备忘录数组的动态规划算法  int MaxSubsequenceSum_5(const int A[], int n);//使用一个变量代替备忘录数组      int main()  {  int A[MAX] = {0};  int n; cin >> n;while (n != 0){for (int i=0; i<n; i++)cin >> A[i];cout << MaxSubsequenceSum_1(A, n) << endl;      cout << MaxSubsequenceSum_2(A, n) << endl;      cout << MaxSubsequenceSum_3(A, n) << endl;      cout << MaxSubsequenceSum_4(A, n) << endl;      cout << MaxSubsequenceSum_5(A, n) << endl;      cin >> n;}          return 0;  }  算法1：低效算法1：三重循环     int MaxSubsequenceSum_1(const int A[], int n)//低效算法1   {      int sum, maxSum = 0;              for (int i=0; i<n; i++)      {          for (int j=i; j<n; j++)          {              sum = 0;              for (int k=i; k<=j; k++)  //语句1              {                  sum += A[k];              }              if (sum > maxSum)                  maxSum = sum;          }      }             return maxSum;  }问题1：语句1所在循环体的作用计算连续子序列A[i..j]之和，但三重循环循环看上去还是有些低效，注意变量sum的作用，想想能否去掉语句1所在循环体，提高效率？答案：问题1：详见算法2。算法2：低效算法2：二重循环int MaxSubsequenceSum_2(const int A[], int n)//低效算法2  {      int sum, maxSum = 0;           for (int i=0; i<n; i++)      {          sum =  //语句1        for (int j=i; j<n; j++)          {              sum +=   //语句2            if (sum > maxSum)                  maxSum =  //语句3        }      }             return maxSum;  }  问题1：将语句1，语句2和语句3补充完整。答案：问题1：语句1：sum = 0; 语句2：sum += A[j]; 语句3：maxSum = sum; 算法3：:分治算法 int MaxSubsequenceSum_3(const int A[], int n)//分治算法  {      return MaxSubSum(A, 0, n-1);  }    int MaxSubSum(const int A[], int left, int right)//分治算法子程序  {      int maxLeftSum, maxRightSum;      int maxLeftBorderSum, maxRightBorderSum;      int leftBorderSum, rightBorderSum;           if (left == right)          return (A[left] > 0) ? A[left] : 0;                int mid = (left + right) / 2;      maxLeftSum = MaxSubSum(A, left, mid);       maxRightSum = MaxSubSum(A, mid+1, right);             maxLeftBorderSum = leftBorderSum = 0;      for (int i=mid; i>=left; i--)  //语句1      {          leftBorderSum += A[i];          if (leftBorderSum > maxLeftBorderSum)              maxLeftBorderSum = leftBorderSum;      }            maxRightBorderSum = rightBorderSum = 0;      for (int i=mid+1; i<=right; i++)      {          rightBorderSum += A[i];          if (rightBorderSum > maxRightBorderSum)              maxRightBorderSum = rightBorderSum;      }            return max(max(maxLeftSum, maxRightSum), maxLeftBorderSum+maxRightBorderSum);  }   问题1：能否把语句1改为for (int i=left; i<=mid; i++)？为什么？答案：问题1：不能。因为语句1的作用是从中间开始向左计算包含A[mid]子序列的最大和。算法4：使用备忘录数组的动态规划算法  int MaxSubsequenceSum_4(const int A[], int n)//使用备忘录数组的动态规划算法    {        int S[MAX] = {A[0]};//S[i]用来存储包含A[i]的最大连续子序列之和            for (int i=1; i<n; i++)          {            if (S[i-1] > 0)                   S[i] =   //语句1        else                    S[i] = A[i];          }               int maxSum = max(0, S[0]);  //语句2     for (int i=1; i<n; i++)          {          if (S[i] > maxSum)             maxSum = S[i];      }              return maxSum;    }  问题1：将语句1补充完整。问题2：能否把语句1改为int maxSum = S[0];？为什么？ 问题3：注意到算法4中S[i]的值只与S[i-1]有关，故无需把所有的S[i]都记录下来，可以进行降维优化，用变量sum代替S[i]实现相关功能。试着实现相关代码。答案：问题1：语句1：S[i] = S[i-1] + A[i];问题2：不能。要考虑到数组A的元素全是负数的情形。问题:3：详见算法5。 算法5：使用一个变量代替备忘录数组int MaxSubsequenceSum_5(const int A[], int n)//使用一个变量代替备忘录数组{      int sum = A[0];      int maxSum = max(0, sum);         for (int i=1; i<n; i++)         {            if (sum > 0)           {               sum += A[i];                if (sum > maxSum)                 maxSum = sum;         }          else           {               sum = A[i];         }      }             return maxSum;  }   拓展练习：原题只要求计算最大连续子序列之和，而没有把对应的连续子序列输出来，现在要求在算法5 MaxSubsequenceSum_5()的基础上，编写函数int MaxSubsequenceSum_6(const int A[], int n)//计算最大连续子序列之和，并输出对应的连续子序列。参考答案：int MaxSubsequenceSum_6(const int A[], int n)//使用一个变量代替备忘录数组，输出子序列   {        int sum = A[0];      int maxSum = max(0, sum);      int left = 0, mLeft = 0, right = 0; //mLeft和right分别存储最大连续子序列的左右边界             for (int i=1; i<n; i++)//存储各连续子序列的最大和          {            if (sum > 0) //若之前的连续子序列之和大于0，则把A[i]累加上去            {               sum += A[i];                if (sum > maxSum)               {                  maxSum = sum;                  mLeft = left;                  right = i;              }          }          else   //否则重新开始             {               sum = A[i];                left = i;          }      }         if (maxSum > 0)  {cout << "A[" << mLeft << ":" << right << "] : ";      for (int i=mLeft; i<=right; i++)           {          cout << A[i] << " ";      }      cout << "= ";  }          return maxSum;    }课后练习：练习1：最大m子段和问题题目描述：给定由 n个整数（可能为负整数）组成的序列a1，a2，a3，……，an，以及一个正整数 m，要求确定序列 a1，a2，a3，……，an的 m个不相交子段，使这m个子段的总和达到最大，求出最大和。 输入：每个测试用例将以两个整数m和n开始, 紧随其后的是n个整数a1，a2，a3，……，an。直到读入文件结束。输出：在一行上输出题目描述中所说的最大和。输入示例：1 3 1 2 32 6-1 4 -2 3 -2 3输出示例：68练习2：1768_最大子矩阵题目描述：已知矩阵的大小定义为矩阵中所有元素的和。给定一个矩阵，你的任务是找到最大的非空(大小至少是1 * 1)子矩阵。比如，如下4 * 4的矩阵0 -2 -7 09 2 -6 2-4 1 -4 1-1 8 0 -2的最大子矩阵是9 2-4 1-1 8这个子矩阵的大小是15。输入输入是一个N * N的矩阵。输入的第一行给出N (0 < N <= 100)。再后面的若干行中，依次（首先从左到右给出第一行的N个整数，再从左到右给出第二行的N个整数……）给出矩阵中的N2个整数，整数之间由空白字符分隔（空格或者空行）。已知矩阵中整数的范围都在[-127, 127]。输出输出最大子矩阵的大小。样例输入40 -2 -7 09 2 -6 2-4 1 -4 1-1 8 0 -2样例输出15