BZOJ 1143 [CTSC2008] 祭祀river

考察内容：二分图匹配


Dilworth定理：最长反链长度=最小链覆盖
    对偶定理：最长链长度=最小反链覆盖
其中反链是指链覆盖后剩余的点组成的集合,在其中的点不能相互抵达而链反之
需要寻找最多的不被链覆盖的点，其数量恰等于最小链覆盖数，对于本题来说即为有向图的最小路径覆盖，考虑到二分图匹配中 最大匹配=n-最小路径覆盖
证明即：
最小路径覆盖数=最大匹配的路径数（一条路径含2点）+剩余点数
而n=最大匹配的路径数*2+剩余点数
所以：最大匹配=n-最小路径覆盖

分析：
此题首先利用Floyd传递闭包计算出两点间的连通性，将每一个节点分为两份，可以理解为一个节点可以和上游匹配，一个和下游匹配，由此进行Hungary算法计算匹配,ans=n-find;
（也可以将图的左边所有点和超级源相连，右边和超级汇相连采用Dinic最大流算法，可以证明对于二分图其复杂度为O(sqrt(n)*m)）

拓展：NOIP1999拦截导弹中第二问也利用此思想，问题求最小链覆盖，可以转化为最长反链，即求一条最长不下降序列长度。

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<cstdlib>#include<algorithm>using namespace std;const int maxn=105;int n,m,ans;bool map[maxn][maxn];bool vst[maxn];int match[maxn];bool find(int x){for(int i=1;i<=n;i++){if(map[x][i]&&(!vst[i])){vst[i]=true;if((!match[i])||(find(match[i]))){match[i]=x;return true;}}}return false;}int main(){scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=m;i++){int a,b;scanf("%d%d",&a,&b);map[a][b]=true;}for(int k=1;k<=n;k++)for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)map[i][j]=(map[i][j]||(map[i][k]&&map[k][j]));for(int i=1;i<=n;i++){memset(vst,0,sizeof vst);if(find(i))ans++;}printf("%d",n-ans);return 0;}