完全背包问题（动态规划（DP））

原题

完全背包问题

有n种重量和价值分别为wi，vi的物品。从这些物品中挑选总重量不超过W的物品，求出挑选物品价值总和的最大值。在这里，每种物品可以挑选任意多件。

1<=n<=100

1<=wi,vi<=100

1<=W<=10000

样例输入

n=3

(w,v)={(3,4),(4,5),(2,3)}

W=7

样例输出

10(0号物品选1个，2号物品选2个)

涉及知识及算法

递推关系：

dp[0][j]=0

dp[i+1][j]=max{dp[i][j-k*w[i]]+k*v[i]|0<=k}

但直接这样去写程序是三重循环，时间复杂度为O(mW^2).

在这个算法中有多余的计算：

在dp[i+1][j]的计算中选择k(k>=1)个 i 物品的情况，与在dp[i+1][j-w[i]]的计算中选择k-1的情况是相同的，所以dp[i+1][j]的递推中k>=1部分的计算已经在dp[i+1][j-w[i]]的计算中完成了。那么可以按照如下方式进行变形：

dp[i+1][j]

=max{dp[i][j-k*w[i]]+k*v[i]|0<=k}

=max(dp[i][j],max{dp[i][j-k*w[i]]+k*v[i]|1<=k})

=max(dp[i][j],max{dp[i][(j-w[i])-k*w[i]]+k*v[i]|0<=k}+v[i])

=max(dp[i][j],dp[i+1][j-w[i]]+v[i])

这样一来就可以用O(nW)时间解决问题。

代码

void solve(){    for(int i=0;i<n;i++)    {        for(int j=0;j<=W;j++)        {            if(j<w[i])            {                dp[i+1][j]=dp[i][j];            }            else             {                dp[i+1][j]=max(dp[i][j],dp[i+1][j-w[i]]+v[i]);            }        }    }    printf("%d\n",dp[n][W]);}

此外，之前提到的01背包问题和这里的完全背包问题，可以通过不断重复利用一个数组来实现。

01背包问题的情况

void solve(){    for(int i=0;i<n;i++)    {        for(int j=W;j>=w[i];j--)        {            dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);        }    }    printf("%d\n",dp[w]);}

完全背包问题的情况

int dp[MAX_W+1];void solve(){    for(int i=0;i<n;i++)    {        for(int j=w[i];j<=W;j++)        {            dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);        }    }    printf("%d\n",dp[w]);}

注：文章转载自《挑战程序设计竞赛》（第二版）