背包问题 01背包 完全背包 多重背包

01背包和完全背包的区别：

01背包的局限在于每样物品只有一种，每个物品都有一个属于自己的价值和重量，在给定的物品中选出背包所能容纳的最大重量，要求是价值最大；

完全背包与01背包的不同在于完全背包不限制每样物品的个数，物品的价值和质量都与01背包一样，也同样是求在给定大小的容量中，找出最大价值的选择；

多重背包就是介于01背包和完全背包之间，物品不是无限也不是一个，而是大于等于一个，多重背包问题可以转换成01背包问题，比如01背包中有1个a，多重背包里有5个a，那不就是在01背包中有5个相同的a嘛，还还有一个改进方式，比有13个a，可以把13 转化成1+2+4+6=13，物品也转化成四个物品：a，2a，4a，6a，价值也乘以倍数，这四个物品之间搭配都能得出1-13之间的物品数和价值，但是13个物品需要循环13次，而4个只需四次，具体转化公式是1，2，4，2^(k-1) , n-2^k+1;

解释：
为了不让选过的物品再次被选，也就是01背包问题，可以用对背包的重量从最大（你所需要求的重量）开始减小到1，二个循环，一个是外循环 i 是物品重量，一个内循环 j 背包的重量 ， 因为是逆序赋值，而重量也是逆序，所以dp[j-w[i]]+val[i]，j-w[i]就是当时的重量减去这个物品的重量，在前面去找这个重量的价值，再加上val[i],新物品的价值，比较大小得出更高的，在前面找重量这个过程由于是逆序的所以不是没有赋值就是 上一次的数据，所以不会有重复的；
而完全背包就是顺过来，可以重复；

01背包题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=260201背包代码：

#include <iostream>using namespace std;int w[105], val[105];int dp[1005];int main(){    int t, m;    cin >> t >> m;    for(int i=1; i<=m; i++)    {        cin >> w[i] >> val[i];    }    for(int i=1; i<=m; i++) //物品         for(int j=t; j>=0; j--) //容量，逆序        {            if(j >= w[i])                dp[j] = max(dp[j-w[i]]+val[i], dp[j]);        }    cout << dp[t] << endl;    return 0;}

完全背包题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1114完全背包代码：

    #include<stdio.h>    #include<string.h>    #define INF 10000000    long long  min(long long s,long long v)    {        return s>v?v:s;    }    int main()    {        int  w[10005];        int val[10005];        int c[10005];        int k;        scanf("%d",&k);        while(k--)        {            int n,m,big;            memset(w,0,sizeof(w));            memset(val,0,sizeof(val));              scanf("%d%d",&n,&m);             big=m-n;            int t;            scanf("%d",&t);            for(int i=1;i<=t;i++)            {                scanf("%d%d",&w[i],&val[i]);            }            for(int i=1;i<=big;i++)                c[i]=INF;            c[0]=0;            for(int i=1;i<=t;i++)                for(int j=val[i];j<=big;j++)//顺序                {                    c[j]=min(c[j-val[i]]+w[i],c[j]);                }            if(c[big]>=INF)                printf("This is impossible.\n");            else                printf("The minimum amount of money in the piggy-bank is %d.\n",c[big]);        }        return 0;     } 

多重背包题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2191多重背包代码1：

#include <iostream>#include<cstring>using namespace std;int w[2000], val[2000];int dp[2000];int max(int q,int p){    return q>p?q:p;}int main(){    int t, m,r;    cin>>r;    while(r--)    {    cin >> t >> m;    int u=1,sum=0;    for(int i=1; i<=m; i++)    {        int x,y,p;        cin >> x>> y>>p ;        sum=sum+p;        for(int j=0;j<p;j++)        {            val[u]=x;            w[u]=y;            u++;            }    }   // for(int i=1;i<=6;i++)     // cout<<val[i]<<" "<<w[i]<<endl;    memset(dp,0,sizeof(dp));    for(int i=1; i<=sum; i++) //物品         for(int j=t; j>=0; j--) //容量，逆序        {            if(j >= val[i])                dp[j] = max(dp[j-val[i]]+w[i], dp[j]);        }      //  while(dp[t]==0)        //   t--;    cout << dp[t] << endl;}    return 0;}

多重背包代码2（改进）：

#include <iostream>#include<cstring>#include<math.h>using namespace std;int w[2000], val[2000];int dp[2000];int max(int q,int p){    return q>p?q:p;}int main(){    int t, m,r;    cin>>r;    while(r--)    {    cin >> t >> m;    int u=1,sum=0;    for(int i=1; i<=m; i++)    {        int x,y,p;        cin >> x>> y>>p ;        int k,sum=0;        for(k=0;sum+pow(2,k)<=p;k++)        {            w[u]=pow(2,k)*y;            val[u]=pow(2,k)*x;            u++;            sum=sum+pow(2,k);            }        if(sum<p)        {            w[u]=(p-sum)*y;            val[u]=(p-sum)*x;            u++;        }    }  //  for(int i=1;i<=u-1;i++)    //  cout<<val[i]<<" "<<w[i]<<endl;    memset(dp,0,sizeof(dp));    for(int i=1; i<=u-1; i++) //物品         for(int j=t;j>=0; j--) //容量，逆序        {            if(j >= val[i])                dp[j] = max(dp[j-val[i]]+w[i], dp[j]);        }      //  while(dp[t]==0)        //   t--;    cout << dp[t] << endl;}    return 0;}