fzu2282 wand 排列组合 错排

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题意：n个巫师参加会议，每个人有一根属于自己的魔杖。有一个巫师想打乱原本魔杖的排列顺序，问至少有k个人拿对的打乱方法有多少种。

思路：

题目要求至少有K个人拿对那么就是说拿对的人可以为k,k+1,....n.例如n=5,k=3,那么可以有3,4,5个人拿对。

解决：

n根魔杖的所有排列方式为A(n,n),所以只需要用所有的减去1,2。。。k个人拿错的情况就可以了。至于为什么不累加从k个人排错到n，是因为n较大会超时（错了才知道）。

所以只需要累加1,2..k个人拿错的情况就行了。列如k个人拿错，首先需要从n个人中选出k个人去哪错，即C（n,k）,然后其他n-k个人排错，即乘错排数。所以k个人拿错的的结果为

C(n,k)*a[n-k].（0<=k<=n）

排列组合公式：

下面是代码，其中求组合数用了费小马定理把除法变成了相乘，优化了算法。

费小马定理：假如p是质数，且gcd(a,p)=1，那么 a^(p-1)≡1（mod p），即：假如a是整数，p是质数，且a,p互质(即两者只有一个公约数1)，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。因为a*a^-1=1=a^(p-1)%p,所以a^-1=a^(p-2)%p.

#include<stdio.h>#include<iostream>#include<cstring>using namespace std;#define ll  long long#define mod 1000000007ll a[10005],b[10005];void init(){a[0] = 1;a[1] = 0;a[2] = 1;b[1] = 1;b[2] = 2;for (int i = 3; i <= 10000; i ++)    {a[i] = (((i - 1) % mod) * ((a[i - 2] + a[i - 1])) % mod) % mod;b[i] = ((b[i - 1] % mod) * (i % mod)) % mod;}}ll qpow(ll a, ll x) ///快速幂{    ll res = 1;    while(x)    {        if (x & 1)        {            res = (res * a) %mod;        }        a = (a * a) % mod;        x >>= 1;    }    return res;}ll C(ll n, ll k) ///求组合数模版{    if(n < k)    {        return 0;    }    if(k > n - k)    {        k = n - k;    }    ll a = 1, b = 1;    for(int i = 0; i < k; i++)    {        a = a * (n - i) % mod;  ///n*(n-1)*(n-2).....*k        b = b * (i + 1) % mod;  ///1*2*...*k    }    return a * qpow(b, mod - 2) % mod;  ///费小马定理}int main(){    int n,m;    int t;    scanf("%d",&t);    init();    while(t--)    {       scanf("%d %d",&n,&m);       ll sum=b[n];       ll ans=0;        for(int i=0;i<m;i++)        {            ans=( (ans%mod) + ((C(n,i)*a[n-i])%mod) )%mod;        }       // cout<<ans<<endl;       printf("%lld\n",(mod +(sum%mod)-(ans%mod)  )%mod);    }    return 0;}