FZU 2282 Wand，利用扩展欧几里得求逆元快速求C(n,m) , 错排公式推导

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Problem 2282 Wand

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Problem Description

N wizards are attending a meeting. Everyone has his own magic wand. N magic wands was put in a line, numbered from 1 to n(Wand_i owned by wizard_i). After the meeting, n wizards will take a wand one by one in the order of 1 to n. A boring wizard decided to reorder the wands. He is wondering how many ways to reorder the wands so that at least k wizards can get his own wand.

For example, n=3. Initially, the wands are w1 w2 w3. After reordering, the wands become w2 w1 w3. So, wizard 1 will take w2, wizard 2 will take w1, wizard 3 will take w3, only wizard 3 get his own wand.

Input

First line contains an integer T (1 ≤ T ≤ 10), represents there are T test cases.

For each test case: Two number n and k.

1<=n <=10000.1<=k<=100. k<=n.

Output

For each test case, output the answer mod 1000000007(10^9 + 7).

Sample Input

2

1 1

3 1

Sample Output

1

4 

题意：有n个数字，每个数字都有自己的位置，现在重新排序（任意排序），使得每个数字都不一定在原来的位置，求有多少种排序能使得至少有k个人在原来的位置。

思路：先保证有k个数字（n个数字选k个  C(n,k) ）不变，剩下的n-k个数字，错排（我用d数组表示），d[i]表示i个数字错排种数。

d[1]=0,d[2]=1;

d[n]=(n-1)*(d[n-1]+d[n-2]);

LL   ans=1;//因为一定有一种排序（所有的数字位置都不变，也就是下面i=n的情况了）

for(  int   i=k;k<n;k++)

  ans+=d[n-i]*C(n,i)；

上面的东西还能懂，有两个问题一个是错排公式，一个是C（n，i）一定要快速求，不然会超时。

错排：http://blog.csdn.net/liwen_7/article/details/7646451  

（博客内容如下：）

n各有序的元素应有n！种不同的排列。如若一个排列式的所有的元素都不在原来的位置上，则称这个排列为错排。任给一个n，求出1,2,……,n的错排个数Dn共有多少个。
递归关系式为：D(n)=(n-1)(D(n-1)+D(n-2))
D(1)=0,D(2)=1
可以得到:
错排公式为 f(n) = n![1-1/1!+1/2!-1/3!+……+(-1)^n*1/n!] 
其中,n!=1*2*3*.....*n,
特别地,有0!=0,1!=1.

n 个不同元素的一个错排可由下述两个步骤完成： 
第一步，“错排” 1 号元素（将 1 号元素排在第 2 至第 n 个位置之一），有 n - 1 种方法。 
第二步，“错排”其余 n - 1 个元素，按如下顺序进行。视第一步的结果，若1号元素落在第 k 个位置，第二步就先把 k 号元素“错排”好， k 号元素的不同排法将导致两类不同的情况发生：
1、 k 号元素排在第1个位置，留下的 n - 2 个元素在与它们的编号集相等的位置集上“错排”，有 f(n -2) 种方法；
2、 k 号元素不排第 1 个位置，这时可将第 1 个位置“看成”第 k 个位置(也就是说本来准备放到k位置为元素，可以放到1位置中),于是形成（包括 k 号元素在内的） n - 1 个元素的“错排”，有 f(n - 1) 种方法。据加法原理，完成第二步共有 f(n - 2)+f(n - 1) 种方法。 
根据乘法原理， n 个不同元素的错排种数 
f(n) = (n-1)[f(n-2)+f(n-1)] (n>2) 。 

这个博客写的很清楚

我只解释一下我对2的理解：  

                 如果现在有1 2 3 4 5 这5个数字，有1 2 3 4 5 这五个位置，每个数字都不能去他自己的位置，并且其他位置都能去，这是错排，有d[5]种；    

                 若现在有    1 2 3 4 5这5个数字， 有1 2 3 4 6 这五个位置    并且我要求数字5不能到位置6，可以到位置1 2 3 4，这个是不是就跟上面的基本上一样了，那么这个也是d[5]种。

（我就解释这么多，其他内容你们应该可以看懂）

这个错排公式 f(n) = n![1-1/1!+1/2!-1/3!+……+(-1)^n*1/n!] 我也不怎么懂。

快速求 C（n,m）需要学习扩展欧几里得;

扩展欧几里得：

LL exgcd(LL a, LL b,LL &x,LL &y)//这里是引用，新的x,y,是由以前的x,y,的值得到{    if (b == 0)    { x = 1; y = 0; return a; }//x,y,的初始化    LL g = exgcd(b, a % b ,x ,y);    LL t = x - a / b * y;//回溯求逆元    x = y;    y = t;    return g;//g表示a和b的最大公约数}

扩展欧几里得能得到a*x+b*y=1;的一组解，那么a*x+b*y=c;的解又该怎么求，只需要将解扩大c/gcd(a,b)倍即可

现在解释为什么扩展欧几里得能快速求C(n,m),

C(n,m)=n!/ ( (n-m)!*m! )  因为数字都比较大所以都%mod ，这时候逆元就派上用场了，除以一个数就是乘以这个数的逆元，

用扩展欧几里得求出  (n-m)!*m! 对于 mod 的逆元，

(n-m)!*m! * x + mod * y=1;  x及为(n-m)!*m! 的逆元（mod>x>0）

LL fac[N];  //void init()  {      LL i;      fac[0]=1;      for (LL i = 1; i < N; i++)      fac[i] = fac[i - 1] * i % MOD;  }  LL exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y) {      if (!b) {x = 1; y = 0; return a;}      LL d = exgcd(b, a % b, y, x);      y -= a / b * x;      return d;  }    LL inv(LL a, LL n) {      LL x, y;      exgcd(a, n, x, y);      return (x + n) % n;  }    LL C(LL n, LL m) {      return fac[n] * inv(fac[m] * fac[n - m] % MOD, MOD) % MOD;  }  

AC代码就不再贴了。