简单博弈模型

（一）巴什博奕（Bash Game）

n%(m+1)>=1  (n>m)

先手必胜    (n<=m)

只有一堆n个物品，两个人轮流从这堆物品中取物，规定每次至少取一个，最多取m个，最后取光者得胜。

显然，如果n=m+1，1那么由于一次最多只能取m个，所以，无论先取者拿走多少个，后取者都能够一次拿走剩余的物品，后者取胜。

必胜法则：每个回合时m+1个，如果n=（m+1)*r+s，（r为任意自然数，s≤m)，那么先取者要拿走s个物品，如果后取者拿走k（≤m)个，那么先取者再拿走m+1-k个，结果剩下（m+1）（r-1）个，以后保持这样的取法，那么先取者肯定获胜。总之，要保持给对手留下（m+1）的倍数，就能最后获胜。

这个游戏还可以有一种变相的玩法：两个人轮流报数，每次至少报一个，最多报十个，谁能报到100者胜。

下面介绍分析此类题目的通用方法：P/N分析：

P点： 即必败点，某玩家位于此点，只要对方无失误，则必败；

N点： 即必胜点，某玩家位于此点，只要自己无失误，则必胜。

三个定理：

定理：

  一、 所有终结点都是必败点P（上游戏中，轮到谁拿牌，还剩0张牌的时候，此人就输了，因为无牌取）；

  二、所有一步能走到必败点P的就是N点；

  三、通过一步操作只能到N点的就是P点；

（二）Fibonacci’s Game（斐波那契博弈）

先手面对斐波那契数列必败。

反之必胜。

有一堆个数为n的石子，游戏双方轮流取石子，满足：

1)先手不能在第一次把所有的石子取完；

2)之后每次可以取的石子数介于1到对手刚取的石子数的2倍之间（包含1和对手刚取的石子数的2倍）。

约定取走最后一个石子的人为赢家。

“Zeckendorf定理”（齐肯多夫定理）：任何正整数可以表示为若干个不连续的Fibonacci数之和。

如果n=83(83=55+21+5+2)，假如先手取2颗，那么后手无法取5颗或更多，而5是一个Fibonacci数，那么一定是先手取走这5颗石子中的最后一颗，同样的道理，接下去先手取走接下来的后21颗中的最后一颗，再取走后55颗中的最后一颗，那么先手赢。

反过来如果n是Fibonacci数，比如n=89：记先手一开始所取的石子数为y，若y>=34颗，那么一定后手赢，因为89-34=55=34+21<2*34，所以只需要考虑先手第一次取得石子数y<34的情况即可，所以现在剩下的石子数x介于55到89之间，它一定不是一个Fibonacci数，于是我们把x分解成Fibonacci数：x=55+f[i]+…+f[j]，如果f[j]<=2y，那么对B就是面临x局面的先手，根据之前的分析，B只要先取f[j]个即可，就可保证必胜。

（三）威佐夫博奕（Wythoff Game）

(0,0) 必败。

(x,y)（x<=y）floor(y-x)(sqrt(5.0)+1)/2==x必败，反之必胜。

有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

我们用（ak，bk）（ak ≤ bk ,k=0，1，2，…,n)表示两堆物品的数量并称其为局势，如果甲面对（0，0），那么甲已经输了，这种局势我们称为奇异局势。前几个奇异局势是：（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，10）、（8，13）、（9，15）、（11，18）、（12，20）。

    a0=b0=0,ak是未在前面出现过的最小自然数,而 bk= ak + k。

    1.任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中。

    由于ak是未在前面出现过的最小自然数，所以有ak > ak-1 ，而 bk= ak + k > ak-1 + k-1 = bk-1 > ak-1 。所以性质1。成立。

    2.任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势。

    事实上，若只改变奇异局势（ak，bk）的某一个分量，那么另一个分量不可能在其他奇异局势中，所以必然是非奇异局势。如果使（ak，bk）的两个分量同时减少，则由于其差不变，且不可能是其他奇异局势的差，因此也是非奇异局势。

    3.采用适当的方法，可以将非奇异局势变为奇异局势。 

    从如上性质可知，两个人如果都采用正确操作，那么面对非奇异局势，先拿者必胜；反之，则后拿者取胜。

    4.（Betty 定理）：如果存在正无理数 A, B 满足 1/A + 1/B = 1，那么集合 P = { [At], t ∈ Z+}、Q = { [Bt], t ∈ Z+} 恰为集合 Z+ 的一个划分，即：P ∪ Q = Z+，P ∩ Q = ø。

    5.上述矩阵中每一行第一列的数为 [Φi]，第二列的数为 [(Φ + 1)i]，其中 Φ = (sqrt(5) + 1) / 2 为黄金分割比。

    

（四）尼姆博奕（Nimm Game）

（a,b,c）a^b^c==0 必败。

有三（或多）堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆取任意多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

我们用（a，b，c）(a<=b<=c)表示某种局势，首先（0，0，0）显然是奇异局势，无论谁面对奇异局势，都必然失败。第二种奇异局势是（0，n，n），只要与对手拿走一样多的物品，最后都将导致（0，0，0）。（1，2，3）也是奇异局势，无论对手如何拿，接下来都可以变为（0，n，n）的情形。

任何奇异局势（a，b，c）都有a^b^c=0。(^为异或)

如果我们面对的是一个非奇异局势（a，b，c），要如何变为奇异局势呢？

假设 a<b<c，我们只要从c中取出一些使之变为a^b即可。

因为有如下的运算结果: a^b^(a^b)=(a^a)^(b^b)=0。要将c变为a^b，只要从c中取出c-(a^b)即可。

例如（14，21，39），14（+）21=27，39-27=12，所以从39中拿走12个物体即可达到奇异局势（14，21，27）。