「网络流 24 题」数字梯形

题目描述

给定一个由 $n$ 行数字组成的数字梯形如下图所示。梯形的第一行有 $m$ 个数字。

从梯形的顶部的 $m$ 个数字开始，在每个数字处可以沿左下或右下方向移动，形成一条从梯形的顶至底的路径。

分别遵守以下规则：

1. 从梯形的顶至底的 $m$ 条路径互不相交；
2. 从梯形的顶至底的 $m$ 条路径仅在数字结点处相交；
3. 从梯形的顶至底的 $m$ 条路径允许在数字结点相交或边相交。

输入格式

第 $1$ 行中有 $2$ 个正整数 $m$ 和 $n$，分别表示数字梯形的第一行有 $m$ 个数字，共有 $n$ 行。

接下来的 $n$ 行是数字梯形中各行的数字。
第 $1$ 行有 $m$ 个数字，第 $2$ 行有 $m+1$ 个数字 ……

输出格式

将按照规则 1，规则 2，和规则 3 计算出的最大数字总和并输出，每行一个最大总和。

样例

样例输入

2 52 33 4 59 10 9 11 1 10 1 11 1 10 12 1 1

样例输出

667577

数据范围与提示

$1\le m,n\le 20$

根据题目描述建图：

第一问：

将每个点拆成出点和入点，入点和出点连边容量为1，保证每个点不重复，每个出点和左下角点以及右下角点连一容量为1

费用为目标点权值的边，保证了边不重复。源点与第一行所有点的入点连一条容量为1费用为目标点权值的边。为保证有且

只有m条路径，我的方法先让最后一行每个点与汇点1建边，容量为1费用为0，再让汇点1和最终汇点建一容量为m费用为0的边。

这样可以保证最终会产生m条路径。

第二问：

与第一问类似，但是允许重复利用同一节点，那么只要把每个节点的入点和出点之间的边的容量修改为INF就好了，其他同上。

第三问：

在第二问的基础上，把不同点之间所连边的容量改为INF即可。

三次询问分别求出最小费用最大流。

#include<stdio.h>#include<algorithm>#include<string.h>#include<queue>using namespace std;const int maxm = 10005;const int maxn = 100005;const int INF = 1e9 + 7;struct node{int u, v, flow, cost, next;}edge[maxn];int dis[maxm], head[maxm], cur[maxm], pre[maxn], f[1005][1005], map[1005][1005];int s, t, n, m, cnt;void init(){cnt = 0, s = 0, t = 10000;memset(head, -1, sizeof(head));}void add(int u, int v, int w, int cost){edge[cnt].u = u, edge[cnt].v = v;edge[cnt].flow = w, edge[cnt].cost = cost;edge[cnt].next = head[u], head[u] = cnt++;edge[cnt].u = v, edge[cnt].v = u;edge[cnt].flow = 0, edge[cnt].cost = -cost;edge[cnt].next = head[v], head[v] = cnt++;}int bfs(){queue<int>q;for (int i = 0;i <= 10004;i++) dis[i] = INF;memset(pre, -1, sizeof(pre));dis[s] = 0;q.push(s);int rev = 0;while (!q.empty()){int u = q.front();q.pop();for (int i = head[u];i != -1;i = edge[i].next){int v = edge[i].v;if (dis[v] > dis[u] + edge[i].cost&&edge[i].flow){dis[v] = dis[u] + edge[i].cost;pre[v] = i;q.push(v);}}}if (dis[t] == INF) return 0;return 1;}int MCMF(){int minflow, ans = 0;while (bfs()){minflow = INF;for (int i = pre[t];i != -1;i = pre[edge[i].u])minflow = min(minflow, edge[i].flow);for (int i = pre[t];i != -1;i = pre[edge[i].u]){edge[i].flow -= minflow;edge[i ^ 1].flow += minflow;}ans += minflow*dis[t];}return ans;}int main(){int i, j, k, sum, id = 0;scanf("%d%d", &m, &n);init();for (i = 1;i <= n;i++){for (j = 1;j <= m + i - 1;j++){scanf("%d", &f[i][j]);map[i][j] = ++id;}}for (i = 1;i <= n;i++){for (j = 1;j <= m + i - 1;j++){if (i == 1) add(s, map[i][j], 1, -f[i][j]);if (i == n) add(map[i][j] + id, id * 2 + 1, 1, 0);add(map[i][j], map[i][j] + id, 1, 0);if (i < n){add(map[i][j] + id, map[i + 1][j], 1, -f[i + 1][j]);add(map[i][j] + id, map[i + 1][j + 1], 1, -f[i + 1][j + 1]);}}}add(id * 2 + 1, t, m, 0);printf("%d\n", -MCMF());init();for (i = 1;i <= n;i++){for (j = 1;j <= m + i - 1;j++){if (i == 1) add(s, map[i][j], 1, -f[i][j]);if (i == n) add(map[i][j] + id, id * 2 + 1, INF, 0);add(map[i][j], map[i][j] + id, INF, 0);if (i < n){add(map[i][j] + id, map[i + 1][j], 1, -f[i + 1][j]);add(map[i][j] + id, map[i + 1][j + 1], 1, -f[i + 1][j + 1]);}}}add(id * 2 + 1, t, m, 0);printf("%d\n", -MCMF());init();for (i = 1;i <= n;i++){for (j = 1;j <= m + i - 1;j++){if (i == 1) add(s, map[i][j], 1, -f[i][j]);if (i == n) add(map[i][j] + id, id * 2 + 1, INF, 0);add(map[i][j], map[i][j] + id, INF, 0);if (i < n){add(map[i][j] + id, map[i + 1][j], INF, -f[i + 1][j]);add(map[i][j] + id, map[i + 1][j + 1], INF, -f[i + 1][j + 1]);}}}add(id * 2 + 1, t, m, 0);printf("%d\n", -MCMF());return 0;}