数字梯形问题（最小费用流）

Description

    给定一个由n 行数字组成的数字梯形如下图所示。梯形的第一行有m 个数字。从梯形的顶部的m 个数字开始，在每个数字处可以沿左下或右下方向移动，形成一条从梯形的顶至底的路径。
规则1：从梯形的顶至底的m条路径互不相交。
规则2：从梯形的顶至底的m条路径仅在数字结点处相交。
规则3：从梯形的顶至底的m条路径允许在数字结点相交或边相交。
                       2 3
                      3 4 5
                     9 10 9 1
                    1 1 10 1 1
                   1 1 10 12 1 1
    对于给定的数字梯形，分别按照规则1，规则2，和规则3 计算出从梯形的顶至底的m条路径，使这m条路径经过的数字总和最大。

Input

多组数据输入.
每组输入第1 行中有2个正整数m和n（m,n<=20），分别表示数字梯形的第一行有m个数字，共有n 行。接下来的n 行是数字梯形中各行的数字。第1 行有m个数字，第2 行有m+1 个数字，…。

Output

每组输出规则1，规则2，和规则3 计算出的最大数字总和,每行一个最大总和。

Sample Input

2 5
2 3
3 4 5
9 10 9 1
1 1 10 1 1
1 1 10 12 1 1

Sample Output

66
75
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题目出自nefu484

规则(1)
把梯形中每个位置抽象为两个点<i.a>,<i.b>，建立附加源S 汇T。
1、对于每个点i 从<i.a>到<i.b>连接一条容量为1，费用为点i 权值的有向边。
2、从S 向梯形顶层每个<i.a>连一条容量为1，费用为0的有向边。
3、从梯形底层每个<i.b>向T 连一条容量为1，费用为0的有向边。
4、对于每个点i 和下面的两个点j，分别连一条从<i.b>到<j.a>容量为1，费用为0的有向边。
求最大费用最大流，费用流值就是结果。
规则(2)
把梯形中每个位置看做一个点i，建立附加源S 汇T。
1、从S 向梯形顶层每个i 连一条容量为1，费用为0的有向边。
2、从梯形底层每个i 向T 连一条容量为无穷大，费用为0的有向边。
3、对于每个点i 和下面的两个点j，分别连一条从i 到j 容量为1，费用为点i 权值的有向边。
求最大费用最大流，费用流值就是结果。
规则(3)
把梯形中每个位置看做一个点i，建立附加源S 汇T。
1、从S 向梯形顶层每个i 连一条容量为1，费用为0的有向边。
2、从梯形底层每个i 向T 连一条容量为无穷大，费用为0的有向边。
3、对于每个点i 和下面的两个点j，分别连一条从i 到j 容量为无穷大，费用为点i 权值的有向边。
求最大费用最大流，费用流值就是结果。
建模分析:
对于规则1，要求路径完全不相交，也就是每个点最多只能被访问了一次，所以要把点拆分，之间连接容量为1的边。因为任
意一条ST 之间的路径都是一个解，在拆分的点内部的边费用设为点的权值，求最大费用最大流就是费用最大的m 条路经。
对于规则2，要求路径可以相交，但不能有重叠，此时可以不必拆点了。为了保证路径没有重叠，需要在相邻的两个点上限制
流量为1，由于顶层的每个点只能用1次，S 向顶层点流量限制也为1。费用只需设在相邻点的边上，求最大费用最大流即可。
对于规则3，要求路径除了顶层每个点以外可以任意相交重叠。在规则2的基础上，取消除S 到顶层顶点之间的边以外所有边
的流量限制即可。

#include <iostream>#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include<string.h>#include<algorithm>#include<math.h>#include<queue>#include<stack>using namespace std;typedef long long ll;const   int oo=1e9;const   int mm=11111111;const   int mn=888888;int node,src,dest,edge;int ver[mm],flow[mm],cost[mm],nex[mm];int head[mn],dis[mn],p[mn],q[mn],vis[mn];/**这些变量基本与最大流相同，增加了cost 表示边的费用，p记录可行流上节点对应的反向边*/void prepare(int _node,int _src,int _dest){    node=_node,src=_src,dest=_dest;    for(int i=0; i<node; i++)head[i]=-1,vis[i]=0;    edge=0;}void addedge(int u,int v,int f,int c)///起点，终点，流量，费用{    ver[edge]=v,flow[edge]=f,cost[edge]=c,nex[edge]=head[u],head[u]=edge++;    ver[edge]=u,flow[edge]=0,cost[edge]=-c,nex[edge]=head[v],head[v]=edge++;}bool spfa()/**spfa 求最短路，并用 p 记录最短路上的边*/{    int i,u,v,l,r=0,tmp;    for(i=0; i<node; ++i)dis[i]=oo;    dis[q[r++]=src]=0;    p[src]=p[dest]=-1;    for(l=0; l!=r; (++l>=mn)?l=0:l)        for(i=head[u=q[l]],vis[u]=0; i>=0; i=nex[i])            if(flow[i]&&dis[v=ver[i]]>(tmp=dis[u]+cost[i]))            {                dis[v]=tmp;                p[v]=i^1;                if(vis[v]) continue;                vis[q[r++]=v]=1;                if(r>=mn)r=0;            }    return p[dest]>-1;}int SpfaFlow()/**源点到汇点的一条最短路即可行流，不断的找这样的可行流*/{    int i,ret=0,delta;    while(spfa())    {        for(i=p[dest],delta=oo; i>=0; i=p[ver[i]])            if(flow[i^1]<delta)delta=flow[i^1];        for(i=p[dest]; i>=0; i=p[ver[i]])            flow[i]+=delta,flow[i^1]-=delta;        ret+=delta*dis[dest];    }    return ret;}int x[30][30];int m,n;int get(int i,int j){    return ((m*2+i-2)*(i-1))/2+j;}int main(){    while(~scanf("%d%d",&m,&n))    {        for(int i=1; i<=n; i++)            for(int j=1; j<=m+i-1; j++)                scanf("%d",&x[i][j]);        int sum=((m*2+n-1)*n)/2;        prepare(sum*2+2,0,sum*2+1);///由于每条边每个点只能走一次，所以拆点，同时所以将每条边的流量限制设成了1，表示只能走一次        for(int i=1; i<=m; i++)            addedge(0,i,1,0),addedge(i,i+sum,1,-x[1][i]);        for(int i=1; i<n; i++)            for(int j=1; j<=m+i-1; j++)            {                int a=get(i,j),b=get(i+1,j),c=get(i+1,j+1);                addedge(a,a+sum,1,-x[i][j]);                addedge(a+sum,b,1,0);                addedge(a+sum,c,1,0);            }        for(int i=1; i<=n+m-1; i++)        {            int a=get(n,i);            addedge(a+sum,dest,1,0);            addedge(a,a+sum,1,-x[n][i]);        }        printf("%d\n",-SpfaFlow());        prepare(sum+n+m+2,0,sum+n+m+1);///由于可以重点，所以不需要拆点了，可是由于边不能重，所以设置每个点向下流的流量限制为1，使得不会重边        for(int i=1; i<=m; i++)            addedge(0,i,1,0);        for(int i=1; i<=n; i++)            for(int j=1; j<=m+i-1; j++)            {                int a=get(i,j),b=get(i+1,j),c=get(i+1,j+1);                addedge(a,b,1,-x[i][j]);                addedge(a,c,1,-x[i][j]);            }        for(int i=1; i<=n+m; i++)        {            int a=get(n+1,i);            addedge(a,dest,oo,0);        }        printf("%d\n",-SpfaFlow());        prepare(sum+n+m+2,0,sum+n+m+1);///可以重边了，所以把上一问的流量限制该为oo即可，不过源点的限制不能改，因为只有m条路线，这个限制不能改        for(int i=1; i<=m; i++)            addedge(0,i,1,0);        for(int i=1; i<=n; i++)            for(int j=1; j<=m+i-1; j++)            {                int a=get(i,j),b=get(i+1,j),c=get(i+1,j+1);                addedge(a,b,oo,-x[i][j]);                addedge(a,c,oo,-x[i][j]);            }        for(int i=1; i<=n+m; i++)        {            int a=get(n+1,i);            addedge(a,dest,oo,0);        }        printf("%d\n",-SpfaFlow());    }    return 0;}