网络流16数字梯形问题

数字梯形问题

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description

    给定一个由n 行数字组成的数字梯形如下图所示。梯形的第一行有m 个数字。从梯形的顶部的m 个数字开始，在每个数字处可以沿左下或右下方向移动，形成一条从梯形的顶至底的路径。规则1：从梯形的顶至底的m条路径互不相交。规则2：从梯形的顶至底的m条路径仅在数字结点处相交。规则3：从梯形的顶至底的m条路径允许在数字结点相交或边相交。                       2 3                      3 4 5                     9 10 9 1                    1 1 10 1 1                   1 1 10 12 1 1    对于给定的数字梯形，分别按照规则1，规则2，和规则3 计算出从梯形的顶至底的m条路径，使这m条路径经过的数字总和最大。

input

多组数据输入.每组输入第1 行中有2个正整数m和n（m,n<=20），分别表示数字梯形的第一行有m个数字，共有n 行。接下来的n 行是数字梯形中各行的数字。第1 行有m个数字，第2 行有m+1 个数字，…。

output

每组输出规则1，规则2，和规则3 计算出的最大数字总和,每行一个最大总和。

sample_input

2 52 33 4 59 10 9 11 1 10 1 11 1 10 12 1 1

sample_output

667577

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【问题分析】


求图的最大权不相交路径及其变种，用费用最大流解决。


【建模方法】


规则(1)


把梯形中每个位置抽象为两个点<i.a>,<i.b>，建立附加源S汇T。


1、对于每个点i从<i.a>到<i.b>连接一条容量为1，费用为点i权值的有向边。
2、从S向梯形顶层每个<i.a>连一条容量为1，费用为0的有向边。
3、从梯形底层每个<i.b>向T连一条容量为1，费用为0的有向边。
4、对于每个点i和下面的两个点j，分别连一条从<i.b>到<j.a>容量为1，费用为0的有向边。


求最大费用最大流，费用流值就是结果。


规则(2)


把梯形中每个位置看做一个点i，建立附加源S汇T。


1、从S向梯形顶层每个i连一条容量为1，费用为0的有向边。
2、从梯形底层每个i向T连一条容量为无穷大，费用为0的有向边。
3、对于每个点i和下面的两个点j，分别连一条从i到j容量为1，费用为点i权值的有向边。


求最大费用最大流，费用流值就是结果。


规则(3)


把梯形中每个位置看做一个点i，建立附加源S汇T。


1、从S向梯形顶层每个i连一条容量为1，费用为0的有向边。
2、从梯形底层每个i向T连一条容量为无穷大，费用为0的有向边。
3、对于每个点i和下面的两个点j，分别连一条从i到j容量为无穷大，费用为点i权值的有向边。


求最大费用最大流，费用流值就是结果。


【建模分析】


对于规则1，要求路径完全不相交，也就是每个点最多只能被访问了一次，所以要把点拆分，之间连接容量为1的边。因为任意一条ST之间的路径都是一个解，在拆分的点内部的边费用设为点的权值，求最大费用最大流就是费用最大的m条路经。


对于规则2，要求路径可以相交，但不能有重叠，此时可以不必拆点了。为了保证路径没有重叠，需要在相邻的两个点上限制流量为1，由于顶层的每个点只能用1次，S向顶层点流量限制也为1。费用只需设在相邻点的边上，求最大费用最大流即可。


对于规则3，要求路径除了顶层每个点以外可以任意相交重叠。在规则2的基础上，取消除S到顶层顶点之间的边以外所有边的流量限制即可。

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#include <iostream>#include <cstdio>using namespace std;const int OO=1e9;//无穷大const int maxm=1111111;//边的最大数量，为原图的两倍const int maxn=11111;//点的最大数量int node,src,dest,edge;//node节点数，src源点，dest汇点，edge边数int head[maxn],p[maxn],dis[maxn],q[maxn],vis[maxn];//head链表头，p记录可行流上节点对应的反向边，dis计算距离struct edgenode{    int to;//边的指向    int flow;//边的容量    int cost;//边的费用    int next;//链表的下一条边} edges[maxm];void prepare(int _node,int _src,int _dest);void addedge(int u,int v,int f,int c);bool spfa();void prepare(int _node,int _src,int _dest){    node=_node;    src=_src;    dest=_dest;    for (int i=0; i<node; i++)    {        head[i]=-1;        vis[i]=0;    }    edge=0;}void addedge(int u,int v,int f,int c){    edges[edge].flow=c;    edges[edge].cost=f;    edges[edge].to=v;    edges[edge].next=head[u];    head[u]=edge++;    edges[edge].flow=0;    edges[edge].cost=-f;    edges[edge].to=u;    edges[edge].next=head[v];    head[v]=edge++;}bool spfa(){    int u,v,r=0;    for (int i=0; i<node; i++) dis[i]=OO;    q[r++]=src;    dis[src]=0;    p[src]=p[dest]=-1;    for (int l=0; l!=r; ((++l>=maxn)?0:l))    {        u=q[l];        vis[u]=0;        for (int i=head[u]; i!=-1; i=edges[i].next)        {            v=edges[i].to;            if (edges[i].flow&&dis[v]>dis[u]+edges[i].cost)            {                dis[v]=dis[u]+edges[i].cost;                p[v]=i^1;                if (!vis[v])                {                    q[r++]=v;                    vis[v]=true;                    if (r>=maxn) r=0;                }            }        }    }    return p[dest]>-1;}int spfaflow(){    int ret=0,delta;    while (spfa())    {        //按记录原路返回求流量        delta=OO;        for (int i=p[dest]; i>=0; i=p[edges[i].to])        {            if (edges[i^1].flow<delta) delta=edges[i^1].flow<delta;        }        for (int i=p[dest]; i>=0; i=p[edges[i].to])        {            edges[i].flow+=delta;            edges[i^1].flow-=delta;        }        ret+=delta*dis[dest];    }    return ret;}int map[100][100];int cod[100][100];int main(){    int n,m;    int cnt;    while (~scanf("%d%d",&m,&n))    {        cnt=0;        for (int i=1; i<=n+1; i++)        {            for (int j=1; j<=m+i-1; j++)            {                cnt++;                if (i<=n) scanf("%d",&map[i][j]);                else map[i][j]=0;                cod[i][j]=cnt;            }        }        int num=m*n+(n*n-n)/2;        //one        prepare((m*n+(n*n-n)/2)*2+2,0,(m*n+(n*n-n)/2)*2+1);        for (int i=1; i<=n; i++)        {            for (int j=1; j<=m+i-1; j++)            {                addedge(cod[i][j],cod[i][j]+num,-map[i][j],1);                if (i==1)                {                    addedge(src,cod[i][j],0,1);                }                if (i<n)                {                    addedge(cod[i][j]+num,cod[i+1][j],0,1);                    addedge(cod[i][j]+num,cod[i+1][j+1],0,1);                }                else                {                    addedge(cod[i][j]+num,dest,0,1);                }            }        }        int ans=-spfaflow();        printf("%d\n",ans);        //two        prepare(num+2+m+n,0,num+1);        for (int i=1;i<=n+1;i++)        {            for (int j=1;j<=m+i-1;j++)            {                if (i==1) addedge(src,cod[i][j],0,1);                if (i<=n)                {                    addedge(cod[i][j],cod[i+1][j],-map[i][j],1);                    addedge(cod[i][j],cod[i+1][j+1],-map[i][j],1);                }                if (i==n+1)                {                    addedge(cod[i][j],dest,0,OO);                }            }        }        ans=-spfaflow();        printf("%d\n",ans);        //three        prepare(num+2+m+n,0,num+1);        for (int i=1;i<=n+1;i++)        {            for (int j=1;j<=m+i-1;j++)            {                if (i==1) addedge(src,cod[i][j],0,1);                if (i<=n)                {                    addedge(cod[i][j],cod[i+1][j],-map[i][j],OO);                    addedge(cod[i][j],cod[i+1][j+1],-map[i][j],OO);                }                if (i==n+1)                {                    addedge(cod[i][j],dest,0,OO);                }            }        }        ans=-spfaflow();        printf("%d\n",ans);    }    return 0;}