最小点权覆盖和最大点权独立集（定义与建模）

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二分图最小点覆盖和最大独立集都可以转化为最大匹配求解。在这个基础上，把每个点赋予一个非负的权值，这两个问题就转化为：二分图最小点权覆盖和二分图最大点权独立集。

 

    二分图最小点权覆盖

    从x或者y集合中选取一些点，使这些点覆盖所有的边，并且选出来的点的权值尽可能小。

建模：

    原二分图中的边(u,v)替换为容量为INF的有向边(u,v)，设立源点s和汇点t，将s和x集合中的点相连，容量为该点的权值；将y中的点同t相连，容量为该点的权值。在新图上求最大流，最大流量即为最小点权覆盖的权值和。

 

二分图最大点权独立集

    在二分图中找到权值和最大的点集，使得它们之间两两没有边。其实它是最小点权覆盖的对偶问题。答案=总权值-最小点覆盖集。具体证明参考胡波涛的论文。

例：HDU1569

题意：一个m*n的棋盘，每个格子都有一个权值，从中取出某些数，使得任意两个数所在的格子没有公共边，并且所取去出的数和最大。求这个最大的值。

解：

    将格子染色成二分图，显然是求二分图的最大点权独立集。将问题转化为二分图最小点权覆盖来求解，最终结果=总权和-最大流。

/* 最大点权独立集： 转化为最小点权覆盖问题，最大点权独立集=总权值-最小点权覆盖集 最小点权覆盖： 设立源点s和t，s连边到点i，容量为i点的权值；点j连边到t，容量为j点权值；原二分图中的边容量为INF，求最大流即为最小点权覆盖。 */  #include <iostream>  #include <cstdio>  #include <cstring>  using namespace std;  const int INF = 0x7fffffff;  const int maxv = 2600;  const int maxe = 1000000;  int n,m;  int g[55][55];  struct Edge  {      int v;      int next;      int flow;  };  Edge e[maxe];  int head[maxv],edgeNum;  int now[maxv],d[maxv],vh[maxv],pre[maxv],preh[maxv];  int start,end;    void addEdge(int a,int b,int c)  {      e[edgeNum].v = b;      e[edgeNum].flow = c;      e[edgeNum].next = head[a];      head[a] = edgeNum++;      e[edgeNum].v = a;      e[edgeNum].flow = 0;      e[edgeNum].next = head[b];      head[b] = edgeNum++;  }    void Init()  {      edgeNum = 0;      memset(head,-1,sizeof(head));      memset(d,0,sizeof(d));  }    int sap(int s,int t,int n)       //源点，汇点，结点总数  {      int i,x,y;      int f,ans = 0;      for(i = 0; i < n; i++)          now[i] = head[i];      vh[0] = n;      x = s;      while(d[s] < n)      {          for(i = now[x]; i != -1; i = e[i].next)              if(e[i].flow > 0 && d[y=e[i].v] + 1 == d[x])                  break;              if(i != -1)              {                  now[x] = preh[y] = i;                  pre[y] = x;                  if((x=y) == t)                  {                      for(f = INF,i=t; i != s; i = pre[i])                          if(e[preh[i]].flow < f)                              f = e[preh[i]].flow;                      ans += f;                      do                      {                          e[preh[x]].flow -= f;                          e[preh[x]^1].flow += f;                          x = pre[x];                      }while(x!=s);                  }              }              else              {                  if(!--vh[d[x]])                      break;                  d[x] = n;                  for(i=now[x]=head[x]; i != -1; i = e[i].next)                  {                      if(e[i].flow > 0 && d[x] > d[e[i].v] + 1)                      {                          now[x] = i;                          d[x] = d[e[i].v] + 1;                      }                  }                  ++vh[d[x]];                  if(x != s)                      x = pre[x];              }      }      return ans;  }      void build()  {      int i,j;      for(i = 1; i <= m; i++)      {          for(j = 1; j <= n; j++)          {              int t = (i-1)*n+j;              if((i+j)%2)              {                  addEdge(start,t,g[i][j]);                  if(i>1)                      addEdge(t,t-n,INF);                  if(i<m)                      addEdge(t,t+n,INF);                  if(j>1)                      addEdge(t,t-1,INF);                  if(j<n)                      addEdge(t,t+1,INF);              }              else                  addEdge(t,end,g[i][j]);          }      }  }    int main()  {      int i,j;      int result;      while(scanf("%d %d",&m,&n) != EOF)      {          result = 0;          Init();          for(i = 1; i <= m; i++)          {              for(j = 1; j <= n; j++)              {                  scanf("%d",&g[i][j]);                  result += g[i][j];              }          }          start = 0;          end = n*m + 1;          build();          printf("%d\n",result-sap(start,end,end+1));      }      return 0;  }