网络流之--最小点权覆盖和最大点权独立集

网络流 最小点权覆盖 最大点权独立集 

    二分图最小点覆盖和最大独立集都可以转化为最大匹配求解。在这个基础上，把每个点赋予一个非负的权值，这两个问题就转化为：二分图最小点权覆盖和二分图最大点权独立集。

 

    二分图最小点权覆盖

    从x或者y集合中选取一些点，使这些点覆盖所有的边，并且选出来的点的权值尽可能小。

建模：

    原二分图中的边(u,v)替换为容量为INF的有向边(u,v)，设立源点s和汇点t，将s和x集合中的点相连，容量为该点的权值；将y中的点同t相连，容量为该点的权值。在新图上求最大流，最大流量即为最小点权覆盖的权值和。

 

二分图最大点权独立集

    在二分图中找到权值和最大的点集，使得它们之间两两没有边。其实它是最小点权覆盖的对偶问题。答案=总权值-最小点覆盖集。具体证明参考胡波涛的论文。

 

例：HDU1569

题意：一个m*n的棋盘，每个格子都有一个权值，从中取出某些数，使得任意两个数所在的格子没有公共边，并且所取去出的数和最大。求这个最大的值。

解：

    将格子染色成二分图，显然是求二分图的最大点权独立集。将问题转化为二分图最小点权覆盖来求解，最终结果=总权和-最大流。

 

/*最大点权独立集：转化为最小点权覆盖问题，最大点权独立集=总权值-最小点权覆盖集最小点权覆盖：设立源点s和t，s连边到点i，容量为i点的权值；点j连边到t，容量为j点权值；原二分图中的边容量为INF，求最大流即为最小点权覆盖。*/#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>using namespace std;const int INF = 0x7fffffff;const int maxv = 2600;const int maxe = 1000000;int n,m;int g[55][55];struct Edge{    int v;    int next;    int flow;};Edge e[maxe];int head[maxv],edgeNum;int now[maxv],d[maxv],vh[maxv],pre[maxv],preh[maxv];int start,end;void addEdge(int a,int b,int c){    e[edgeNum].v = b;    e[edgeNum].flow = c;    e[edgeNum].next = head[a];    head[a] = edgeNum++;    e[edgeNum].v = a;    e[edgeNum].flow = 0;    e[edgeNum].next = head[b];    head[b] = edgeNum++;}void Init(){    edgeNum = 0;    memset(head,-1,sizeof(head));    memset(d,0,sizeof(d));}int sap(int s,int t,int n)       //源点，汇点，结点总数{    int i,x,y;    int f,ans = 0;    for(i = 0; i < n; i++)        now[i] = head[i];    vh[0] = n;    x = s;    while(d[s] < n)    {        for(i = now[x]; i != -1; i = e[i].next)            if(e[i].flow > 0 && d[y=e[i].v] + 1 == d[x])                break;            if(i != -1)            {                now[x] = preh[y] = i;                pre[y] = x;                if((x=y) == t)                {                    for(f = INF,i=t; i != s; i = pre[i])                        if(e[preh[i]].flow < f)                            f = e[preh[i]].flow;                    ans += f;                    do                    {                        e[preh[x]].flow -= f;                        e[preh[x]^1].flow += f;                        x = pre[x];                    }while(x!=s);                }            }            else            {                if(!--vh[d[x]])                    break;                d[x] = n;                for(i=now[x]=head[x]; i != -1; i = e[i].next)                {                    if(e[i].flow > 0 && d[x] > d[e[i].v] + 1)                    {                        now[x] = i;                        d[x] = d[e[i].v] + 1;                    }                }                ++vh[d[x]];                if(x != s)                    x = pre[x];            }    }    return ans;}void build(){    int i,j;    for(i = 1; i <= m; i++)    {        for(j = 1; j <= n; j++)        {            int t = (i-1)*n+j;            if((i+j)%2)            {                addEdge(start,t,g[i][j]);                if(i>1)                    addEdge(t,t-n,INF);                if(i<m)                    addEdge(t,t+n,INF);                if(j>1)                    addEdge(t,t-1,INF);                if(j<n)                    addEdge(t,t+1,INF);            }            else                addEdge(t,end,g[i][j]);        }    }}int main(){    int i,j;    int result;    while(scanf("%d %d",&m,&n) != EOF)    {        result = 0;        Init();        for(i = 1; i <= m; i++)        {            for(j = 1; j <= n; j++)            {                scanf("%d",&g[i][j]);                result += g[i][j];            }        }        start = 0;        end = n*m + 1;        build();        printf("%d\n",result-sap(start,end,end+1));    }    return 0;}