「网络流 24 题」最长 k 可重区间集

题目描述

给定实直线 $L$ 上 $n$ 个开区间组成的集合 $I$，和一个正整数 $k$，试设计一个算法，

从开区间集合 $I$ 中选取出开区间集合 $S\subseteq I$，使得在实直线 $L$ 的任何一点 $x$，

$S$ 中包含点 $x$ 的开区间个数不超过 $k$。且 ∑z∈S∣z∣ \sum\limits_{z \in S} | z |​z∈S​∑​​∣z∣ 达到最大。

这样的集合 $S$ 称为开区间集合 $I$ 的最长 $k$ 可重区间集。

∑z∈S∣z∣ \sum\limits_{z \in S} | z |​z∈S​∑​​∣z∣ 称为最长 $k$ 可重区间集的长度。

对于给定的开区间集合 $I$ 和正整数 $k$，

计算开区间集合 $I$ 的最长 $k$ 可重区间集的长度。

输入格式

文件的第 $1$ 行有 $2$ 个正整数 $n$ 和 $k$，分别表示开区间的个数和开区间的可重迭数。
接下来的 $n$ 行，每行有 $2$ 个整数 li l_il​i​​ 和 ri r_ir​i​​，表示开区间的左右端点坐标，

注意可能有 li>ri l_i > r_il​i​​>r​i​​，此时请将其交换。

输出格式

输出最长 $k$ 可重区间集的长度。

样例

样例输入

4 21 76 87 109 13

样例输出

15

数据范围与提示

$1\le n\le 500,1\le k\le 3$

我们把每个区间的端点作为网络流图中的顶点，那么每个区间的长度便是端点

所建边的费用，容量为1。

建图：

1：端点离散化。

2：源点连点1，容量为k费用为0。

3：最后一个点连汇点，容量为k费用为0。

4：第i个点连第i+1个点，容量为INF费用为0,。

5：连接每个区间的端点，容量为1，费用为长度。

求最小费用最大流。

#include<stdio.h>#include<algorithm>#include<string.h>#include<queue>using namespace std;#define swap(a,b){int c;c=a,a=b,b=c;}const int maxm = 1000005;const int INF = 1e9 + 7;struct node{int u, v, flow, cost, next;}edge[maxm];int dis[maxm], head[maxm], cur[maxm], pre[maxm];int f[maxm], map[maxm], l[maxm], r[maxm], a[maxm];int s, t, n, m, cnt;void init(){cnt = 0, s = 0, t = m + 1;memset(head, -1, sizeof(head));}void add(int u, int v, int w, int cost){edge[cnt].u = u, edge[cnt].v = v;edge[cnt].flow = w, edge[cnt].cost = cost;edge[cnt].next = head[u], head[u] = cnt++;edge[cnt].u = v, edge[cnt].v = u;edge[cnt].flow = 0, edge[cnt].cost = -cost;edge[cnt].next = head[v], head[v] = cnt++;}int bfs(){queue<int>q;for (int i = 0;i <= 1000001;i++) dis[i] = INF;memset(pre, -1, sizeof(pre));dis[s] = 0;q.push(s);int rev = 0;while (!q.empty()){int u = q.front();q.pop();for (int i = head[u];i != -1;i = edge[i].next){int v = edge[i].v;if (dis[v] > dis[u] + edge[i].cost&&edge[i].flow){dis[v] = dis[u] + edge[i].cost;pre[v] = i;q.push(v);}}}if (dis[t] == INF) return 0;return 1;}int MCMF(){int minflow, ans = 0;while (bfs()){minflow = INF;for (int i = pre[t];i != -1;i = pre[edge[i].u])minflow = min(minflow, edge[i].flow);for (int i = pre[t];i != -1;i = pre[edge[i].u]){edge[i].flow -= minflow;edge[i ^ 1].flow += minflow;}ans += minflow*dis[t];}return ans;}int main(){int i, j, k, sum, id = 0;scanf("%d%d", &n, &k);for (i = 1;i <= n;i++){scanf("%d%d", &l[i], &r[i]);if (l[i] > r[i]) swap(l[i], r[i]);f[++id] = l[i], f[++id] = r[i];}sort(f + 1, f + 1 + id);m = 0;a[++m] = m;map[f[1]] = m;for (i = 2;i <= id;i++){if (f[i] != f[i - 1]) a[++m] = m;map[f[i]] = m;}init();add(s, 1, k, 0);add(m, t, k, 0);for (i = 1;i < m;i++)add(i, i + 1, INF, 0);for (i = 1;i <= n;i++)add(map[l[i]], map[r[i]], 1, -(r[i] - l[i]));printf("%d\n", -MCMF());return 0;}