判定一棵二叉树是否是二叉搜索树

问题

给定一棵二叉树，判定该二叉树是否是二叉搜索树（Binary Search Tree）？

解法1:暴力搜索

首先说明一下二叉树和二叉搜索树的区别。二叉树指这样的树结构，它的每个结点的孩子数目最多为2个；二叉搜索树是一种二叉树，但是它有附加的一些约束条件，这些约束条件必须对每个结点都成立：

• 结点node的左子树所有结点的值都小于node的值。
• 结点node的右子树所有结点的值都大于node的值。
• 结点node的左右子树同样都必须是二叉搜索树。

该问题在面试中也许经常问到，考察的是对二叉搜索树定义的理解。初看这个问题，也许会想这样来实现：

假定当前结点值为k。对于二叉树中每个结点，判断其左孩子的值是否小于k，其右孩子的值是否大于k。如果所有结点都满足该条件，则该二叉树是一棵二叉搜索树。

很不幸的是，这个算法是错误的。考虑下面的二叉树，它符合上面算法的条件，但是它不是一棵二叉搜索树。

    10   /  \  5   15     -------- binary tree (1)     /  \    6    20

那么，根据二叉搜索树的定义，可以想到一种暴力搜索的方法来判定二叉树是否为二叉搜索树。

 假定当前结点值为k。则对于二叉树中每个结点，其左子树所有结点的值必须都小于k，其右子树所有结点的值都必须大于k。

暴力搜索算法代码如下，虽然效率不高，但是它确实能够完成工作。该解法最坏情况复杂度为O（n^2)，n为结点数目。（当所有结点都在一边的时候出现最坏情况）

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1. /*判断左子树的结点值是否都小于val*/  
2. bool isSubTreeLessThan(BinaryTree *p, int val)   
3. {  
4.   if (!p) return true;  
5.   return (p->data < val &&  
6.           isSubTreeLessThan(p->left, val) &&  
7.           isSubTreeLessThan(p->right, val));  
8. }  
9.  /*判断右子树的结点值是否都大于val*/  
10. bool isSubTreeGreaterThan(BinaryTree *p, int val)   
11. {  
12.   if (!p) return true;  
13.   return (p->data > val &&  
14.           isSubTreeGreaterThan(p->left, val) &&  
15.           isSubTreeGreaterThan(p->right, val));  
16. }  
17.  /*判定二叉树是否是二叉搜索树*/  
18. bool isBSTBruteForce(BinaryTree *p)   
19. {  
20.   if (!p) return true;  
21.   return isSubTreeLessThan(p->left, p->data) &&  
22.          isSubTreeGreaterThan(p->right, p->data) &&  
23.          isBSTBruteForce(p->left) &&  
24.          isBSTBruteForce(p->right);  
25. }  

一个类似的解法是：对于结点node，判断其左子树最大值是否大于node的值，如果是，则该二叉树不是二叉搜索树。如果不是，则接着判断右子树最小值是否小于或等于node的值，如果是，则不是二叉搜索树。如果不是则接着递归判断左右子树是否是二叉搜索树。（代码中的maxValue和minValue函数功能分别是返回二叉树中的最大值和最小值，这里假定二叉树为二叉搜索树，实际返回的不一定是最大值和最小值）

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1. int isBST(struct node* node)   
2. {   
3.   if (node==NULL) return(true);  
4.   //如果左子树最大值>=当前node的值，则返回false  
5.   if (node->left!=NULL && maxValue(node->left) >= node->data)   
6.     return(false);  
7.   // 如果右子树最小值<=当前node的值，返回false  
8.   if (node->right!=NULL && minValue(node->right) <= node->data)   
9.     return(false);  
10.   // 如果左子树或者右子树不是BST，返回false  
11.   if (!isBST(node->left) || !isBST(node->right))   
12.     return(false);  
13.   // 通过所有测试，返回true  
14.   return(true);   
15. }   

解法2：更好的解法

以前面提到的binary tree（1）为例，当我们从结点10遍历到右结点15时，我们知道右子树结点值肯定都在10和+INFINITY（无穷大）之间。当我们遍历到结点15的左孩子结点6时，我们知道结点15的左子树结点值都必须在10到15之间。显然，结点6不符合条件，因此它不是一棵二叉搜索树。该算法代码如下：

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1. int isBST2(struct node* node)   
2. {  
3.       return(isBSTUtil(node, INT_MIN, INT_MAX));  
4. }  
5. /* 
6. 给定的二叉树是BST则返回true，且它的值  >min 以及 < max. 
7. */  
8. int isBSTUtil(struct node* node, int min, int max)   
9. {  
10.       if (node==NULL) return(true);  
11.       // 如果不满足min和max约束，返回false  
12.       if (node->data<=min || node->data>=max) return(false);  
13.       // 递归判断左右子树是否满足min和max约束条件  
14.       return  
15.           isBSTUtil(node->left, min, node->data) &&  
16.           isBSTUtil(node->right, node->data, max)  
17.       );  
18. }  

由于该算法只需要访问每个结点1次，因此时间复杂度为O（n），比解法1效率高很多。

解法3：中序遍历算法

因为一棵二叉搜索树的中序遍历后其结点值是从小到大排好序的，所以依此给出下面的解法。该解法时间复杂度也是O（n）。

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1. bool isBSTInOrder(BinaryTree *root)   
2. {  
3.   int prev = INT_MIN;  
4.   return isBSTInOrderHelper(root, prev);  
5. }  
6. /*该函数判断二叉树p是否是一棵二叉搜索树，且其结点值都大于prev*/  
7. bool isBSTInOrderHelper(BinaryTree *p, int& prev)   
8. {  
9.   if (!p) return true;  
10.   if (isBSTInOrderHelper(p->left, prev)) { // 如果左子树是二叉搜索树，且结点值都大于prev  
11.     if (p->data > prev) { //判断当前结点值是否大于prev，因为此时prev已经设置为已经中序遍历过的结点的最大值。  
12.       prev = p->data;  
13.       return isBSTInOrderHelper(p->right, prev); //若结点值大于prev，则设置prev为当前结点值，并判断右子树是否二叉搜索树且结点值都大于prev。  
14.     } else {  
15.       return false;  
16.     }  
17.   }  
18.   else {  
19.     return false;  
20.   }  
21. }