hdu 6134 Battlestation Operational （莫比乌斯反演+线性筛法+差分）

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6134
题目大意：给你一个n，求f(n)=∑ni=1∑ij=1⌈ij⌉其中gcd(i,j)=1。

解题思路：根据已知公式，可以令h(i)=∑ij=1⌈ij⌉gcd(i,j)=1.
令g(i)=∑ij=1⌈ij⌉
而f(n)=∑ni=1h(i)
设gcd(i,j) = d,明显可以知道d能被i整除，当然也可以找到一个k，使得k*d = j，则我们可以得到gcd(i,kd) = d; 我们可以构造∑i/dk=1⌈ikd⌉gcd(i,kd)=d 化简可得∑i/dk=1⌈i/dk⌉gcd(i/d,k)=1 即原式等于h(i/d),当d取满i所有的约数则可以得到g(i)=∑d|ih(i/d) 根据约数定理可以化简得g(i)=∑d|ih(d) 根据莫比乌斯反演可以得到 h(i)=∑d|iμ(d)g(i/d)
现在我们的任务就是如何求h（i）了，那就要求μ(d) 和 g(i/d);
μ(d) 可以根据线性筛法来求。

令t = i/d；则当 j = t时g(t) = 1 当 t/2<= j< t 时 g(t) = 2 当 t/3<=j < t/2 时 g(t) = 3 由此可以看出在t这个间隔内g(t)的值不会发生变化。这里可以用差分的思想来求g（t）。
具体代码如下：

#include <stdio.h>#include <algorithm>#include <string.h>const int mod = 1e9+7;const int N = 1e6;using namespace std;int mu[N+10],vis[N+10],prime[N+10];int sum[N+10],g[N];int n,m;void get_mu()///线性筛法求mu{    int cnt = 0;    memset(mu,0,sizeof(mu));///先让初始值全部赋值为0    mu[1] = 1;///第一个元素为1    memset(vis,0,sizeof(vis));    vis[0] = vis[1] = 1;    for(int i=2;i<=N;i++){        if(!vis[i]){            prime[cnt++] = i;            mu[i] = -1;///如果这个数是个素数的话则mu【i】 = -1；        }        for(int j = 0;j < cnt&& i*prime[j]<=N;j++){            vis[i*prime[j]] = 1;            if(i%prime[j])///控制这个数由几个不同素数组成                mu[i*prime[j]] = -mu[i];            else{///表示有相同素数组成                mu[i*prime[j]] = 0;                break;            }        }    }}void work(){    memset(sum,0,sizeof(sum));    memset(g,0,sizeof(g));    get_mu();    for(int i=1;i<=N;i++){///求g(i)        g[i]++;        for(int j = i; j <= N; j+=i)            g[j+1]++;    }    for(int i=1;i<=N;i++)        g[i] = (g[i-1] + g[i])%mod;    for(int i = 1; i <= N; i++){///求h(i)        if(mu[i] == 0)  continue;        for(int j = i; j <= N; j+=i){            if(mu[i] > 0)sum[j] = (sum[j] + g[j/i])%mod;            else   sum[j] = (sum[j] - g[j/i]+mod)%mod;        }    }    for(int i=1;i<=N;i++)        sum[i] = (sum[i] + sum[i-1])%mod;}int main(){    int n;    work();//    for(int i=1;i<=10;i++)//        cout<<mu[i]<<' ';//    cout<<endl;//    for(int i=1;i<=10;i++)//        cout<<g[i]<<' ';//    cout<<endl;//    for(int i=1;i<=10;i++)//        cout<<sum[i]<<' ';//    cout<<endl;    while(~scanf("%d",&n)){        printf("%d\n",sum[n]);    }    return 0;}