HDU 6134(2017 多校训练:Battlestation Operational(莫比乌斯反演))
来源:互联网 发布:数据分析职业发展 知乎 编辑:程序博客网 时间:2024/05/20 12:24
题目链接:
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6134
这题就是求
考虑当Gcd(i, j)==1时,除了j为1的情况,其它时候i/j一定是小数,所以i/j向上取整相当于向下取整的结果+1。这里注意的是,题目要求的是向上取整,这里转化成了向下取整(因为出现向下取整这种情况代表i和j互质,而欧拉函数就是求互质个数的,这里还有减一代表j=1时的情况,因为这里确实是满足的,虽然欧拉函数算上1了)。
那么有:(其中φ(i)为小于i与i互质的对数,即欧拉函数)
欧拉函数因为是积性函数,可以线性求出,令
为什么上面等式成立?
对于所有的n/i,当n和i不互质时,很显然它们除掉它们的Gcd之后就互质了,而等式左边正是在枚举n的约数
也就是两种情况,一种是n和i互质,另一种是n和i互质。我们发现只有d为n时才能出现互质,因为不互质那么必然有公因子,相除以后就成了n的因子和比它小的数互质。后者n和i互质就是代表左式中的d=n的情况。
考虑莫比乌斯反演:
那么有:
其中莫比乌斯函数和原公式中的欧拉函数都可以O(n)预处理
这样只要枚举后半部分就可以得出答案了
但很可惜这样复杂度仍然是O(nsqrt(n))超时!!
上面公式还可以转
其中τ(n)表示n的约数个数,是积性函数也可以线性求出
那么答案有
其中先预处理τ(n)的前缀和,再预处理u(i)与t(n)前缀和积的前缀和
最后带上欧拉函数再算一波前缀和即可
代码:
#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<cmath>#include<algorithm>#include<queue>using namespace std;#define LL long long#define MAXN 1001000const int mod=1e9+7;int mu[MAXN];LL ans[MAXN];LL d[MAXN];int phi[MAXN];void getPhi(){ for(int i=1;i<MAXN;++i) phi[i]=i; for(int i=2;i<MAXN;++i) if(phi[i]==i) for(int j=i;j<MAXN;j+=i) phi[j]=phi[j]/i*(i-1);}void getMu(){ for(int i=1;i<MAXN;++i) { int target=i == 1?1:0; int delta=target-mu[i]; mu[i]=delta; for(int j=i+i;j<MAXN;j+=i) mu[j]+=delta; }}void init(){ getPhi(); getMu(); for(int i=1;i<MAXN;++i) for(int j=i;j<MAXN;j+=i) d[j]++; for(int i=1;i<MAXN;++i) d[i]=(d[i]+d[i-1])%mod; for(int i=1;i<MAXN;++i) for(int j=i;j<MAXN;j+=i) ans[j]=(ans[j]+mu[j/i]*d[i])%mod; for(int i=1;i<MAXN;++i) ans[i]=(ans[i]+phi[i]-1)%mod; for(int i=2;i<MAXN;++i) ans[i]=(ans[i]+ans[i-1])%mod;}int main(){ init(); int n; while(~scanf("%d",&n)) { printf("%d\n",ans[n]); }}
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