HDU6134 Battlestation Operational 【莫比乌斯】

链接

---

设g(n)=∑ni=1∑ij=1ceiling(ij)
g(n/3)=∑n/3i=1∑ij=1ceiling(ij)=∑n/3i=1∑ij=1ceiling(3i3j)
显然gcd(3i,3j)>=3，g(n)−g(n/3)=∑ni=1∑ij=1{ceiling(ij)∗[gcd(i,j)!=3∗k]}
这样,答案就显而易见了...
f(n)=∑ni=1μ(i)g(i)
f(n)−f(n−1)=∑[μ(i)g(n/i)−μ(i)g((n−1)/i)]
f(n)=f(n−1)+∑μ(i)[g(n/i)−g((n−1)/i)]
用莫比乌斯搞一下

而g(n)的求解
设ceiling(i/j)=k,枚举j,k
当ceiling(i/j)=k时,i的可能范围为[j∗(k−1)+1,j∗k]
而显然,当j固定时,k可能的值在[1,n/j]之间，O(n/1+n/2+n/3+...+1)=O(n∗(1+1/2+1/3+...+1/n))=O(n∗ln(n+1))
区间线段树给[j∗(k−1)+1,j∗k]区间+k,复杂度为O(n∗ln(n+1)∗log(n))

而如果t[i]=下标i为起点,[i,n]内的元素全部加上t[i]
当t[(k−1)∗j+1]+=k,t[(k∗j+1)]−=k,表示(k−1)∗j+1作为起点全部+k，(k∗j+1)作为起点全部−k
g(i)=∑ij=1t[i],骚操作一下,复杂度减少一个log(n)

#include<stdio.h>#include<bits/stdc++.h>#define ll long long#define pii pair<int,int>#define pll pair<ll,ll>#define MEM(a,x) memset(a,x,sizeof(a))#define lowbit(x) ((x)&-(x))using namespace std;const int inf=1e9+7;const int N = 1e6 + 50;namespace Moblus{    const int maxn = N;    bool check[maxn+10];    int prime[maxn+10];    int mu[maxn+10];    void Moblus(){        MEM(check,0);        mu[1]=1;        int tot=0;        for(int i=2;i<=maxn;++i){            if(!check[i]){                prime[tot++]=i;                mu[i]=-1;            }            for(int j=0;j<tot;++j){                if((ll)i*prime[j]>maxn){                    break;                }                check[i*prime[j]]=1;                if(i%prime[j]==0){                    mu[i*prime[j]]=0;                    break;                }                else{                    mu[i*prime[j]]=-mu[i];                }            }        }    }}ll g[N],t[N];void getG(int n){//g[n]= sum(i/j向上取整)    for(int j=1;j<=n;++j){//枚举j        for(int k=1,ed=n/j+(n%j>0);k<=ed;++k){//枚举k,向上取整(i/j)=k            int a=(k-1)*j+1;//a/j=k            int b=(k*j+1);//b/j=k+1            a=min(max(a,j),n+1);//当a,b<j时,全部操作到j上,避免往前累加            b=min(max(b,j),n+1);            t[a]=(t[a]+k)%inf;            t[b]=(t[b]-k)%inf;        }        t[j]=(t[j]+t[j-1])%inf;        g[j]=t[j];//g[j]=t[1]+t[2]+..+t[j]    }    for(int i=1;i<=n;++i){        g[i]+=g[i-1];        g[i]%=inf;    }}ll ans[N];void slove(int n){    Moblus::Moblus();    getG(n);    for(int i=1;i<=n;++i){        for(int j=i;j<=n;j+=i){            ans[j]+=Moblus::mu[i]*(g[j/i]-g[j/i-1])%inf;            ans[j]%=inf;        }    }    for(int i=1;i<=n;++i){        ans[i]=(ans[i]+ans[i-1])%inf;    }}int main(){    //freopen("/home/lu/code/r.txt","r",stdin);    //freopen("/home/lu/code/w.txt","w",stdout);    slove(1e6+1);    int n;    while(~scanf("%d",&n)){        printf("%lld\n",(ans[n]+inf)%inf);    }    return 0;}