HDU 6134 && 2017 多校训练:Battlestation Operational(莫比乌斯反演+积性函数)
来源:互联网 发布:linux mount cifs 编辑:程序博客网 时间:2024/05/22 01:54
实在太长了直接放题目链接
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6134
这题就是求
考虑当Gcd(i, j)==1时,除了j为1的情况,其它时候i/j一定是小数,所以i/j向上取整相当于向下取整的结果+1
那么有:(其中φ(i)为小于i与i互质的对数,即欧拉函数)
欧拉函数因为是积性函数,可以线性求出,令
为什么上面等式成立?
对于所有的n/i,当n和i不互质时,很显然它们除掉它们的Gcd之后就互质了,而等式左边正是在枚举n的约数
考虑莫比乌斯反演:
那么有:
其中莫比乌斯函数和原公式中的欧拉函数都可以O(n)预处理
这样只要枚举后半部分就可以得出答案了
但很可惜这样复杂度仍然是O(nsqrt(n))的所以比赛中就超时了。。。
卡了好久好久好久。。。
继续想:
上面公式还可以转
其中τ(n)表示n的约数个数,是积性函数也可以线性求出
那么答案有
其中先预处理τ(n)的前缀和,再预处理u(i)与t(n)前缀和积的前缀和
最后带上欧拉函数再算一波前缀和即可
直接O(1)查询,代码很短,就是做了2个半小时。。。
#include<stdio.h>#include<string.h>#define mod 1000000007#define LL long longLL cnt[1000005], sum[1000005] = {0,1}, ans[1000005] = {0,1};int main(void){LL n, i, j;for(i=1;i<=1000000;i++){for(j=i;j<=1000000;j+=i)cnt[j]++;}for(i=2;i<=1000000;i++)sum[i] = (sum[i-1]+cnt[i-1]+1)%mod;for(i=1;i<=1000000;i++){for(j=i+i;j<=1000000;j+=i)sum[j] = ((sum[j]-sum[i])%mod+mod)%mod;}for(i=2;i<=1000000;i++)ans[i] = (sum[i]+ans[i-1])%mod;while(scanf("%lld", &n)!=EOF)printf("%lld\n", ans[n]);return 0;}
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