线性筛法（欧拉筛）

前言

以前学过的Eratosthenes筛法，时间复杂度是O(nlogn)的。
然而对于五千万左右的数据，Eratosthenes就会华丽爆炸。

于是要用更加高级的算法——欧拉筛。

正题

Eratosthenes慢在对于一个合数，它会被所有比它小的质因子筛过。
而欧拉筛则可以保证，每个合数只会被它最小的质因子筛。
这样均摊复杂度为O(N)。

如何保证

欧拉筛每次用一个数i，和之前晒出的质数相乘来判断合数。
如果prime[j]|i，那么可以直接跳出。
因为i∗prime[j+1]一定会被prime[j]筛。
以此均摊复杂度。

证明

∵prime[j]|i
∴i=k∗prime[j]
∵i∗prime[j+1]=k∗prime[j]∗prime[j+1]
∴i∗prime[j+1]=k′∗prime[j]
∴i∗prime[j+1]一定会被prime[j]筛掉。

代码&注释

#include <iostream>#include <fstream>#define fo(a,b,c) for (a=b; a<=c; a++)#define n 10000000//范围using namespace std;bool print=false;//是否输出int i,j,k;bool f[1000000001];int p[100000001];//质数表，p[0]为长度__attribute__((optimize("-O2")))//O2优化233int main(){    fo(i,2,n)//枚举一个数    {        if (!f[i])//如果没有被筛过，说明是质数        p[++p[0]]=i;        fo(j,1,p[0])//枚举筛过的质数        {            k=i*p[j];            if (k>n)            break;            f[k]=true;            if (!(i%p[j]))//重点优化，防止多筛            break;        }    }    if (!print)    return 0;    fo(i,1,p[0])    {        printf("%10d",p[i],' ');        if (!(i%11))        printf("\n");    }    return 0;}