用Python学《微积分B》（单调性与极值，凸性与拐点）

来源：互联网发布：被网络诈骗报警有用吗编辑：程序博客网时间：2024/05/21 08:00

《微积分B》课程微分学部分的“单调性与极值”和“凹凸性与拐点”这两节都属于“函数的微分性质应用”。上一篇讲到“洛必达法则”是用“降维”的方法来求不定式的极限，而这两节同样使用“降维”（求导）的方法来分析函数的性质。

注：关于“降维”，我有一个联想。微积分中的降维就是求导，而在其他领域也有“降维”，比如“将球体投影为平面上的圆”，“将复信号投影到x-t平面，研究幅度变化图”等等。

一、要点简述

1，函数的单调性

引入“导数”的概念后，函数的单调性除了用“单调性的定义”来判断（对于有些函数不太方便，比如隐函数、复杂的三角函数），还可以借助“导函数”来判断原函数的单调性。

定理（严格单调的充分必要条件）：若函数f(x)在[a, b]上连续、在(a, b)上可导，则f(x)在[a, b]上严格单增的充分必要条件是：f'(x) >= 0且f'(x)在[a, b]的任意子区间上不恒为零。

简单来说，导数为零的点不能连成一个区间。

2，极值

极值点的充分条件（判断法）：

（一阶导数形式）：若函数f(x)可导，且f'(x)在x0的两侧异号，则x0是f(x)的极值点。

（二阶导数形式）：若函数f(x)在x0处具有二阶导数，且f'(x0)=0，则当f''(x0) > 0时，f(x0)是函数f(x)的极小值；当f''(x0) < 0时，f(x0)是函数f(x)的极大值。

注：

一阶导数形式的定理应用更广，它实际上可以不要求f'(x)在x0这一点可导，比如“f(x) = |x|”在 x = 0处导数不存在，但是它在这一点左右的导数存在，且异号，故它是极值点。

二阶导师形式中的二阶导数的正负号与极大/极小的关系，可以借助 f(x) = x ** 2 来记忆，f'(0) = 0 , f''(0) = 2 > 0，它是极小值。

3，凸性

关于凸性，用函数图形来表示会比较清晰。

如上图所示，y = x ** 3这条曲线（绿色），在区间[2, 10]内，它的割线（红色）位于它的上方。这就是直观的“上凸”。

充要条件：（黄色割线的斜率大于蓝色割线的斜率）

f(x)在区间[a, b]下凸 $\Leftrightarrow \forall x_{1} < x_{2} < x_{3} \in [a, b], \frac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}<\frac{f(x_{3})-f(x_{2})}{x_{3}-x_{2}}$

通俗来说，下凸函数的割线斜率越来越大。而当割线取极限时，就变成了切线，此时可以将从“导函数”单调性来分析原函数的凸性。而导函数的单调性研究，又可以转化为二阶导函数是否变号的问题。

4，拐点

凸性变化的点，或导函数单调性变化的点。

对比来看，“凸性和拐点”就是更低维度的“单调性和极值”。

凸性的应用：证明“均值不等式”

$\forall x_{1} , x_{2} , x_{3}...x_{n} \in (0, +\infty )\; \Rightarrow \; \frac{1}{\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+...+\frac{1}{x_{n}}}< \sqrt[n]{x_{1} x_{2} ...x_{n}}< \frac{x_{1} + x_{2} +...+x_{n}}{n}$

即：调和平均值< 几何平均值 < 算术平均值

提示：先证右边的不等式，取对数，如下

$ln(\frac{x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}{n})>ln(\sqrt[n]{x_{1}x_{2}...x_{n}})=\frac{ln(x_{1})+ln(x_{2})+...+ln(x_{n})}{n}$

设f(x) = ln(x)，则 f'(x) = 1 / x， f''(x) = - 1 / x ** 2 < 0 （已知条件中 x > 0）

二阶导数小于0，故该函数是上凸的，所以，割线（两点连线）上的点位于曲线下方。

很明显，上面的不等式右边是曲线上的点

$(\frac{x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}{n},\; ln(\frac{x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}{n}))$

那么，上面的不等式左边会是两点 $(x_{1},\; lnx_{1}),\; (x_{n},\; lnx_{n})$ 连线上的点吗？

$(\frac{x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}{n},\; \frac{ln(x_{1})+ln(x_{2})+...+ln(x_{n})}{n})$

这个证明没有我想象的那么简单，事实上，它用到了“Jensen不等式”：

https://en.wikipedia.org/wiki/Jensen%27s_inequality

5，渐近线

https://zh.wikipedia.org/wiki/渐近线

综合应用：

分析函数 $y= (2+x)e^{\frac{1}{x}}$ 的图形性质：单调区间、凸性、渐近线存在性

二、课后习题

单调性与极值

1，求函数 $f(x)= x + \frac{1}{x}$ 的极值

解：这一题需要注意“极值”与“最值”的区别。

需要注意的是：f''(-1) < 0， -2是极大值；f''(1) > 0，2是极小值。

2，数列 ${\sqrt[n]{n}}$ 的最大项是？

解：将数列转化为函数

很明显：最大项为第3项

3，函数 $f(x) = (x + 2)^{2}(x-1)^{3}$ 的极值点是？

解：运用一阶导数形式

注：f''(1)=0，故转用一阶导数形式判f'(x)在过零点时是否变号，后者说f'(x)是穿越零点还是与x轴相切。

8，设函数f(x)，g(x)具有二阶导数，且g''(x) < 0。若 g(x0) = a 是g(x)的极值，则f(g(x))在x0取极大值的一个充分条件是？

解：1） g(x0) = a --> f(g(x0)) = f(a)

2） g''(x) < 0 --> g'(x) 单减

3）又g(x0) = a 是极值 --> g'(x) 在x0点两边异号

4）综合2和3步 --> g'(x) 在x0点左边为正，右边为负

5）根据复合函数“链导法”： $\frac{\mathrm{d} f[g(x)]}{\mathrm{d} x}= \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} u}* \frac{\mathrm{d} g(x)}{\mathrm{d} x}$

--> f'(g(x0)) = f'(a) * g'(x0)

6）综合4和5 --> 只要f'(a) > 0，则f'(g(x0))在x0点左边为正，右边为负

凸性和拐点

4，求曲线 $y= (x-1)(x-2)^{2}(x-3)^{3}(x-4)^{4}$ 的拐点？

解：分析一阶导函数的单调性，二阶导函数的极值点左右变号，三阶导函数极值点正负

先通过二阶导函数求出一阶导函数的极值点为(3, 0)和(4, 0)

再看三阶导数的正负，最后判定拐点为（3, 0）

注：本题典型地反映了，原函数的拐点就是一阶导函数的极值点。

6，求曲线 $y= \frac{x^{2}+x}{x^{2}-1}$ 渐近线

解：渐近线分为：水平渐近线、垂直渐近线、斜渐近线

又上面的极限运算可知：它有一条水平渐近线和一条垂直渐近线（导数不存在的点），没有斜渐近线。

8，已知 y = f(x)是有方程 $y^{3}-x^{3}+2xy=0$ 所确定的隐函数，设曲线 y = f(x) 有斜渐近线 y = ax + b，求a和b

解：

因为斜渐近线存在，根据定理，恒有：

$\lim_{x \to \infty }\frac{f(x)}{x}=a,\lim_{x \to \infty }[f(x)-ax]=b$

故，设

$u=\frac{f(x)}{x}\; \Rightarrow y = f(x)= u * x$

代入方差，然后两边取极限，得

$\lim_{x \to \infty }[u^{3}(x)+\frac{2u(x)}{x}-1]=0,\lim_{x \to \infty }u(x)=a$

后式代入前式可得 a ** 3 - 1 = 0，故 a = 1

又设 v = f(x) - ax ，可得

y = x + v

代入方程，同样两边取极限，可解得 b = - 2 / 3

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