京东笔试题——进制均值

1. 题目描述

  尽管是一个CS专业的学生，小B的数学基础很好并对数值计算有着特别的兴趣，喜欢用计算机程序来解决数学问题，现在，她正在玩一个数值变换的游戏。她发现计算机中经常用不同的进制表示一个数，如十进制数123表达为16进制时只包含两位数7、11（B），用八进制表示为三位数1、7、3，按不同进制表达时，各个位数的和也不同，如上述例子中十六进制和八进制中各位数的和分别是18和11,。 小B感兴趣的是，一个数A如果按2到A-1进制表达时，各个位数之和的均值是多少？她希望你能帮她解决这个问题？ 所有的计算均基于十进制进行，结果也用十进制表示为不可约简的分数形式。

2. 题目分析

  题目很长，这大概就是笔试题的特点，墨迹一堆，就看你能不能理解。大概的意思就是给你一个整数N，让你将N分别转化为2进制、3进制……N-1进制，然后把每一位的数字相加，对这几种进制求均值。假设T（N，X）为将整数N转化为X进制后的各位数字和，则Answer = [T(N,X=2)+T(N,X=3)+……+T(N,X=N-1)] / (N-1-1)。

3. ac解法——cpp

#include <iostream>#include <algorithm>#include <string>using namespace std;// 求整数x转换成n进制后各位数字的和int everyByteSum(int x, int n, int &everysum) {    int yushu = x % n;    everysum += yushu;    if (x/n >= n) {        everyByteSum(x/n, n, everysum);    }    else {        everysum += x/n;    }    return everysum;}int main() {    int X;    cin >> X;    if (X < 1 || X > 5000) // 判定非法输入        return -1;    int everysum = 0;    int allsum = 0;    for(int i = 2; i < X; i++) { // 计算每一种进制的总和        everysum = 0;        allsum += everyByteSum(X, i, everysum);    }    string ans; // 答案要求输出分数形式，所以使用字符串    int len = X - 2;    // 进行分式化简    if (allsum % len == 0) {        allsum = allsum / len;        len = 1;    }    for(int i = 2; i <= len; i++) {        while(allsum%i == 0 && len%i == 0 && allsum/i!=0 && len/i!=0){            allsum = allsum / i;            len = len / i;        }    }    // 将结果转化为分式后输出    ans = to_string(allsum);    ans += "/";    ans += to_string(len);    cout << ans << endl;    return 0;}

4. 总结

  在这里分式化简的部分不够有普遍适用性。理论上应该先求取allsum和len的最大公约数之后，分别除掉最大公约数即可。在规定时间内时间有点紧张，一时掀不起来求最大公约数的算法，所以采用了上面化简的不优美的方法。所以在这里贴一下求最大公约数的算法，希望下次需要的时候能够信手拈来。
  最大公约数的求取：
方法一：辗转相除法

int MaxCommonDivisor(int a, int b) {    if (a % b == 0)        return b;    else        return MaxCommonDivisor(b, a%b);}

方法二：辗转相减法

int MaxCommonDivisor(int a, int b) {    if (a == b)        return a;    if (a > b)        return MaxCommonDivisor(a-b, b);    else        return MaxCommonDivisor(a, b-a);}

方法三：暴力求解（如题目解答中化解部分）